Докажите, что четырехугольник abcd является прямоугольником, найдите его площадь, если A (16;2), B(20;6), C(14;12) и D(10;8)

Построим сумму векторов а и b и их разность.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129

Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301

Дан четырехугольник ABCD

AB=CD

BC=AD

угол A = 30⁰

E ∋ BC

угол CDE = 60⁰

 

Доказать. ABED - прямоугольная трапеция.

 

Доказательство.

 

Рассм. ABCD. угол A = 30⁰ ⇒ угол С = 30⁰

угол В = углу D = (360⁰ - 30⁰ - 30⁰)/2 = 300⁰/2 = 150⁰

угол ADE = угол ADC - угол CDE

т.к. угол ADC 150⁰, a по условию угол CDE = 60⁰, то угол AED = 150⁰ - 60⁰ = 90⁰

 

Опеределения:

- трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие не параллельны.

 - трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной

 

Рассмотрим ABED - четырехугольник. 

BE||AD,

AB не параллельно ED (т.к. ED перпендикуляр к AD)

угол EDA - 90⁰

 

След-но ABED - прямоугольная трапеция.