Пусть а см - самая коротка сторона. Тогда средняя сторона равна (а + 10) см, а самая длинна - (а + 20) см. В прямоугольном треугольнике самая длинная сторона - гипотенуза, а две другие - катеты. Используя теорему Пифагора, получим уравнение: а² + (а + 10)² = (а + 20)² а² + а² + 20а + 100 = а² + 40а + 400 2а² - а² + 20а - 40а + 100 - 400 = 0 а² - 20а - 300 = 0 По обратной теореме Виета: а1 + а2 = 20 а1•а2 = -300 а1 = 30 а2 = -10 - не уд. условию задачи. Значит, меньший катет равен 30 см. Тогда больший катет равен 30 + 10 = 40 см, а гипотенуза - 50 см. ответ: 50 см.
Дано: АВСА₁В₁С₁ - прямая призма,
ΔАВС: АВ = ВС = b, ∠ВАС = α,
∠АА₁С = φ.
Цилиндр вписан в призму.
Найти: Объем цилиндра.
Если цилиндр вписан в призму, то основания цилиндра вписаны в основания призмы, а высоты равны.
Радиус основания цилиндра - радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
Пусть ВН - высота ΔАВС. А так как он равнобедренный, то и медиана.
ΔВСН: СН = ВС · cosα = b · cosα.
AH = CH = b·cosα
AC = 2b·cosα
Центр вписанной окружности - точка О - точка пересечения биссектрис.
АО - биссектриса угла А, ОН - радиус вписанной окружности, ∠ОАН = α/2.
ΔАОН: ОН = АН · tg(α/2)
r = b·cosα · tg(α/2)
ΔAA₁C: AA₁ = AC · ctg φ - высота призмы и цилиндра,
h = 2b·cosα · ctgφ
Vцил = πr²h
Vцил = π · (b·cosα · tg(α/2))² · 2b·cosα · ctgφ
Vцил = 2b³π·cos³α · tg²(α/2) · ctgφ
а² + (а + 10)² = (а + 20)²
а² + а² + 20а + 100 = а² + 40а + 400
2а² - а² + 20а - 40а + 100 - 400 = 0
а² - 20а - 300 = 0
По обратной теореме Виета:
а1 + а2 = 20
а1•а2 = -300
а1 = 30
а2 = -10 - не уд. условию задачи.
Значит, меньший катет равен 30 см.
Тогда больший катет равен 30 + 10 = 40 см, а гипотенуза - 50 см.
ответ: 50 см.