Докажите, что сумма медиан треугольника меньше его периметра! )

АК, ВМ и СТ - медианы треугольника АВС.

Надо доказать, что АК + ВМ + СТ < АВ + ВС + АС.

Отложим на луче АК отрезок КО = АК.

КО = АК по построению, ВК = КС, так как АК медиана.

Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

Значит АВОС - параллелограмм. Тогда ВО = АС.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, значит в треугольнике АВО: АО < AB + BO, а значит и 2АК < АВ + АС, т.е.

АК < 1/2 (АВ + АС)

Аналогично, построив параллелограммы с диагоналями, содержащими две другие медианы, докажем , что

ВМ < 1/2 (ВА + ВС) и

СТ < 1/2 (СА + СВ)

Сложим эти три неравенства:

АК + ВМ + СТ < 1/2 АВ + 1/2 АС + 1/2 ВА + 1/2 ВС + 1/2 СА + 1/2 СВ

АК + ВМ + СТ < АВ + АС + ВС

АК + ВМ + СТ < Рabc