Докажите, что все четырехугольники, получающиеся на развертке каркасного тетраэдра, являются описанными.

Рассмотрим треугольник АBD
Треугольник АВD - прямоугольный

угол АВD = 90° - 60° = 30° (теорема об острых углах прямоугольного треугольника)

АВ = 2 * АD = 2 * 3 = 6 (теорема о катете, лежащим против угла в 30°)

По теореме Пифагора:
ВD^2 = АВ^2 - АD^2 = 36 - 9 = 27
BD = корень из 27

Рассмотрим треугольник DBC
Треугольник DBC - прямоугольный

угол DBC = 90° - 45° = 45° (теорема об острых углах прямоугольного треугольника)

угол DCB = 45° (по условию)

Из двух предыдущих следует, что треугольник DBC - равнобедренный => DC = BD = корень из 27

По теореме Пифагора:
ВС^2 = DB^2 + DC^2 = 27 + 27 = 54
BC = корень из 54

Задачка не так страшна, как кажется поначалу.
Всего лишь надой найти площадь равнобедренного треугольника, если дан угол при основании и расстояние от вершины основания до центра вписанной окружности.
β - угол при основании
L расстояние от вершины основания до центра вписанной окружности
Радиус вписанной окружности
r = L*sin(β/2)
половинка основания
a/2 = L*cos(β/2)
Половина угла при вершине
(180-2β)/2 = 90 - β 
Эта же половинка основания, но в треугольнике, равном половине большого
a/2 = b*sin(90-β)
a/2 = b*cos(β)
b = a/(2*cos(β)) = 2L*sin(β/2)/(2*cos(β)) = L*cos(β/2)/cos(β)
полупериметр
p = b + a/2 = L*cos(β/2)/cos(β) + L*cos(β/2) = L*cos(β/2)*(1+1/cos(β))
и площадь через полупериметр и радиус вписанной окружности
S = rp = L*sin(β/2)*L*cos(β/2)*(1+1/cos(β)) = 1/2*L²*sin(β)*(1+1/cos(β))
и всего таких треугольника 4
S₄ = 4*S =2*L²*sin(β)*(1+1/cos(β))