Докажите следующие свойства прямоугольника : a) противоположные стороны прямоугольника параллельны друг другу
б) диагональ прямоугольника разбивает его на 2 равных треугольника

1) прямые МР и NK могут быть параллельны, т.к. углы PMN и RNM являются односторонними (в сумме дают 180градусов) и раз уж они равны, значит по 90 градусов каждый => МР II NK

так же они могут пересекаться (точка Р накладывается на точку К). И при условии, что МР=NK получаем равнобедненный треугольник с основанием МN. А углы при основании такого треугольника равны.

ответ: 5)Пересекаются или параллельны

2)

пусть один из односторонних углов х (тупой), другой y(острый), тогда:

х-y=65

x+y=180

y=180-х

х-(180-х)=65

2х=65+180=245

х=122,5градуса

y=180-122,5=57,5градусов

y - это один из острых накрест лежащих углов (накрест лежащие углы равны) =>

2y=57,5*2=115градусов

ответ: 1)115 градусов

т.к. треуг. равнобедр, значит АВ=АС=5см, а медиана из вершины А является ещё и высотой (пусть это будет медиана АР), а значит основание ВС делится точкой Р на пополам, т.е. ВР=РС= 8/2 =4см. По теор. Пифагора а^2+b^2=c^2 (сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы)  А т.к. АР катет прямоугольного треугольника АРВ, значит 

АВ^2=BP^2+AP^2

5^2=4^2+AP^2

25-16=9=AP^2

AP=3 cм

по основному свойсту медианы треугольника : медиана треугольника точкой их пересечения делится в отношении 2:1 (считая от вершины треугольника)

значит АО:ОР как 2:1

АР разделить на 3 получим ОР = 1, а значит АО = 3-1 = 2см