Дано: Треугольник АВС, АВ=ВС, АС=12 см Окружность с центром в точке О вписана в треугольник АВС. KL, MN, PQ - касательные. P(KBL) + P(MCN) + P(PAQ) = 48 см
Найти: АВ
Решение: Проведем радиусы окружности в точки касания (OX, OY, OZ и другие). Рассмотрим треугольник KBL. Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны. Значит, KX=KY, LY=LZ. Таким образом, периметр треугольника KBL можно переписать в виде: Р(KBL)=BK+BL+KY+LY=BK+BL+KX+LZ Аналогично, можно переписать выражения для периметров треугольников MCN и PAQ (очередной отрезок заменяется на равный, который в отличие от предыдущего является частью периметра треугольника АВС). Получившаяся сумма периметров всех трех треугольников будет равна периметру треугольника АВС. P(KBL) + P(MCN) + P(PAQ) = P(АВС) = 48 P(АВС) = AB+ BC + AC Так как треугольник равнобедренный, то: P(АВС) = 2AB+ AC Подставляем известные величины: 48 = 2AB+ 12 2AB = 36 АВ = 18 (см) ответ: 18 см
Пусть равнобокая трапеция АВСD. Высота АН, проведенная из вершины тупого угла С, делит большее основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований, а меньший - их полуразности. Значит АН=16см, НD=АК=9см. АС перпендикулярна СD, значит высота СН - высота из прямого угла и по ее свойствам равна: СН=√(АН*НD) или СН=12см. Пусть точка Р - точка пересечения высоты ВК с диагональю АС. Тогда треугольник АРК подобен треугольнику АСН с коэффициентом подобия АК/АН=9/16. Тогда РК/СН=9/16, отсюда РК=9*12/16=6и3/4см. ВР=ВК-РК=12-6и3/4 = 5и1/4см. ответ: отрезки 6и3/4; 5и1/4.
Треугольник АВС, АВ=ВС, АС=12 см
Окружность с центром в точке О вписана в треугольник АВС.
KL, MN, PQ - касательные.
P(KBL) + P(MCN) + P(PAQ) = 48 см
Найти: АВ
Решение:
Проведем радиусы окружности в точки касания (OX, OY, OZ и другие).
Рассмотрим треугольник KBL. Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны. Значит, KX=KY, LY=LZ. Таким образом, периметр треугольника KBL можно переписать в виде:
Р(KBL)=BK+BL+KY+LY=BK+BL+KX+LZ
Аналогично, можно переписать выражения для периметров треугольников MCN и PAQ (очередной отрезок заменяется на равный, который в отличие от предыдущего является частью периметра треугольника АВС).
Получившаяся сумма периметров всех трех треугольников будет равна периметру треугольника АВС.
P(KBL) + P(MCN) + P(PAQ) = P(АВС) = 48
P(АВС) = AB+ BC + AC
Так как треугольник равнобедренный, то:
P(АВС) = 2AB+ AC
Подставляем известные величины:
48 = 2AB+ 12
2AB = 36
АВ = 18 (см)
ответ: 18 см
Значит АН=16см, НD=АК=9см.
АС перпендикулярна СD, значит высота СН - высота из прямого угла и по ее свойствам равна:
СН=√(АН*НD) или СН=12см.
Пусть точка Р - точка пересечения высоты ВК с диагональю АС.
Тогда треугольник АРК подобен треугольнику АСН с коэффициентом подобия АК/АН=9/16.
Тогда РК/СН=9/16, отсюда РК=9*12/16=6и3/4см.
ВР=ВК-РК=12-6и3/4 = 5и1/4см.
ответ: отрезки 6и3/4; 5и1/4.