Доведіть, що трикутник з вершинами А(6; 0;-6), В(3; -4;-5), C(0; 2;-3) рівнобедрений.

Пусть квадрат СКМН вписан в треугольник АВС, причем точка М лежит на АВ. 

Примем сторону квадрата равной х. 

Тогда АК=12-х, ВН=10-х

Площадь ∆ АВС состоит из площади двух прямоугольных треугольников и площади квадрата. 

S АВС=Ѕ АКМ+Ѕ МВН+Ѕ КМНС. ⇒

12•10=(12-х)•х+(10-х)•х+2х²⇒

120=22х⇒

см

————

Или: 

Проведем биссектрису СМ . 

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон. 

АМ:ВМ=АС:ВС=12/10=

Откуда АВ=11 частей, и СВ:х=АВ:АМ=11/6⇒

11х=60

 см

———

Можно использовать также подобие треугольников АКМ и МНВ, из чего следует 

АК:МН=КМ:ВН - ответ будет, естественно, тем же.

1) Доказывается методом от обратного. Надо предположить, что пусть эта прямая персекает плоскость а и не пересекает другую плоскость в. Это означает, что она параллельна другой плоскости. В плоскости проводом через точку пересечения прямой с плоскостью прямую. Т. к. через две пересекающие прямые можно провести только одну плоскость, то получается, что прямая лежит в плоскости а, чего быть не может, т. к. по условию задачи она её пересекает Мы пришли к противоречию с условием задачи. Значит наше предположение неверное. Поэтому данная прямая пересекает и другую плоскость
2) Построй, рассмотри четырёхугольники и докажи, что это параллелограммы. А в параллелограммах противоположные стороны равны