Довжина сторони правильного трикутника abc дорівнює 6. точки p, q і r — середини його сторін. pr, pq, qr — дуги кіл з центрами відповідно у точках a, b, c. знайти площу криволінійного трикутника pqr.длина стороны правильного треугольника abc равна 6. точки p, q и r - середины его сторон. pr, pq, qr - дуги окружностей с центрами соответственно в точках a, b, c. найти площадь криволинейного треугольника pqr.
Чертеж к решению - во вложении.
Т.к. О - центр вписанной в ΔАВС окружности, то О - точка пересечения биссектрис углов ΔАВС. Значит, АО и ВО - биссектрисы.
Т.к. О1 - центр внеписанной окружности то О1 - точка пересечения биссектрис внешних углов ΔАВС. Значит, АО1 и ВО1 - биссектрисы.
Пусть α - величина внешнего угла ΔАВС при вершине А, тогда (180°-α) - величина внутреннего угла ΔАВС при вершине А, т.к. эти углы - смежные.
Тогда
Аналогично,![\angle OBO_1=90^0](/tpl/images/0531/1820/93fc0.png)
Рассмотрим четырехугольник АОВО1.
У него сумма противолежащих углов А и В равна 90°+90° = 180°.
Т.к. сумма всех углов этого выпуклого четырехугольника равна 360°, то сумма двух других противолежащих при вершинах О и О1 также равна 180°.
Таким образом, воспользуемся утверждением: если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Делаем вывод, точки А, В, О и О1 лежат на одной окружности.
Доказано.