Решение: Найдем величины отрезков АМ, MN и ND. Их сумма равна 16,5, а отношение 1:17:15, то есть х+17х+15х=33х=16,5. Отсюда х=0,5. Тогда АМ=0,5 MN=8,5 ND=7,5. Опустим перпендикуляр РН из точки Р на сторону АD. Это высота треугольника МNР. Тогда из подобия треугольников ALN и НРN (РН параллельна АВ) имеем: РН/AL=HN/AN. или НN=AN*PH/AN или HN=9*РН/5 (1). Из подобия треугольников CMD и PMН (РН параллельна CD) имеем: РН/CD=MH/MD. или MН=MD*PH/CD или MH=16*РН/10 или MH=1,6*РН (2). MH+HN=8,5 или МН=8,5-HN (3). Приравниваем (2) и (3): 1,6*РН=8,5-HN или HN=8,5-1,6*PH (4). а теперь приравняем (1) и (4): 9*РН/5=8,5-1,6*PH или 9*РН=42,5-8РН или 17РН=42,5. Отсюда РН=2,5. Итак, высота треугольника MNР равна 2,5, а его основание равно 8,5. Следовательно, площадь треугольника MNР равна Smnр=(1/2)*8,5*2,5=10,625. ответ: площадь треугольника MNР равна 10,625 ед².
Решение координатным методом: Пусть начало координат в точке А(0;0). Величины отрезков АМ=0,5 MN=8,5 ND=7,5. Тогда координаты точек M(0,5;0) и N(9;0). Имеем точки: L(0;5), M(0,5;0), N(9;0) и C(16,5;10). Напишем уравнения прямых, проходящик через две точки по формулам: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Точки C(16,5;10) и M(0,5;0) . Прямая СМ: (х-0,5)/16=(y-0)/10 или 10x-16y=5. (1) Точки L(0;5) и N(9;0) . Прямая LN: (х-0)/9=(y-5)/-5 или 5x+9y=45. (2) Координаты точки пересечения Р(х;y) найдем, решив систему двух уравнений (1) и
(2). 10x-16y=5 (1) 5x+9y=45 (2) или 10x-16y=5 (1) 10x+18y=90 (2). Вычтем из второго первое: 34y=85. y=2,5 тогда х=4,5. Итак, имеем точку Р(4,5;2,5) Координата y этой точки - это высота треугольника MNР. Зная основание MN = 8,5 этого треугольника, находим его площадь: Smnp=(1/2)*8,5*2,5=10,625 ед².
Пусть дан треугольник АВС, в котором АВ= 4 см, АС = 5 см , ∠А=60°.
Найдем сторону ВС по теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Найдем величины отрезков АМ, MN и ND.
Их сумма равна 16,5, а отношение 1:17:15, то есть х+17х+15х=33х=16,5.
Отсюда х=0,5. Тогда АМ=0,5 MN=8,5 ND=7,5.
Опустим перпендикуляр РН из точки Р на сторону АD.
Это высота треугольника МNР.
Тогда из подобия треугольников ALN и НРN (РН параллельна АВ) имеем:
РН/AL=HN/AN. или НN=AN*PH/AN или HN=9*РН/5 (1).
Из подобия треугольников CMD и PMН (РН параллельна CD) имеем:
РН/CD=MH/MD. или MН=MD*PH/CD или MH=16*РН/10 или MH=1,6*РН (2).
MH+HN=8,5 или МН=8,5-HN (3).
Приравниваем (2) и (3):
1,6*РН=8,5-HN или HN=8,5-1,6*PH (4).
а теперь приравняем (1) и (4):
9*РН/5=8,5-1,6*PH или
9*РН=42,5-8РН или 17РН=42,5. Отсюда РН=2,5.
Итак, высота треугольника MNР равна 2,5, а его основание равно 8,5.
Следовательно, площадь треугольника MNР равна Smnр=(1/2)*8,5*2,5=10,625.
ответ: площадь треугольника MNР равна 10,625 ед².
Решение координатным методом:
Пусть начало координат в точке А(0;0).
Величины отрезков АМ=0,5 MN=8,5 ND=7,5.
Тогда координаты точек M(0,5;0) и N(9;0).
Имеем точки:
L(0;5), M(0,5;0), N(9;0) и C(16,5;10).
Напишем уравнения прямых, проходящик через две точки по формулам:
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).
Точки C(16,5;10) и M(0,5;0) .
Прямая СМ: (х-0,5)/16=(y-0)/10 или 10x-16y=5. (1)
Точки L(0;5) и N(9;0) .
Прямая LN: (х-0)/9=(y-5)/-5 или 5x+9y=45. (2)
Координаты точки пересечения Р(х;y) найдем, решив систему двух уравнений (1) и
(2).
10x-16y=5 (1)
5x+9y=45 (2) или
10x-16y=5 (1)
10x+18y=90 (2). Вычтем из второго первое: 34y=85.
y=2,5 тогда х=4,5.
Итак, имеем точку Р(4,5;2,5)
Координата y этой точки - это высота треугольника MNР.
Зная основание MN = 8,5 этого треугольника, находим его площадь:
Smnp=(1/2)*8,5*2,5=10,625 ед².
ВС= 6 см; P=15 см; S=5√3 см²; R= 2√3 см.
Объяснение:
Пусть дан треугольник АВС, в котором АВ= 4 см, АС = 5 см , ∠А=60°.
Найдем сторону ВС по теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
ВС²=АВ²+АС²-2·АВ·АС·sinA;
\begin{gathered}BC^{2} =4^{2} +5^{2} -2\cdot4\cdot 5\cdot cos60^{0} ;BC^{2} =16+25-2\cdot20\cdot \dfrac{1}{2} ;\\BC^{2} =16+25-5;\\BC^{2}=36;\\BC=6.\end{gathered}
BC
2
=4
2
+5
2
−2⋅4⋅5⋅cos60
0
;
BC
2
=16+25−2⋅20⋅
2
1
;
BC
2
=16+25−5;
BC
2
=36;
BC=6.
Тогда ВС= 6 см
Периметр треугольника - сумма длин всех сторон треугольника.
\begin{gathered}P=AB+AC+BC;\\P=4+5+6=15\end{gathered}
P=AB+AC+BC;
P=4+5+6=15
см.
Найдем площадь треугольника по формуле.
\begin{gathered}S=\dfrac{1}{2} \cdot AB\cdot AC\cdot sin60^{0} ;S=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} =5\sqrt{3}\end{gathered}
S=
2
1
⋅AB⋅AC⋅sin60
0
;
S=
2
1
⋅4⋅5⋅
2
3
=5
3
см².
Радиус окружности, описанной около треугольника определим по формуле.
R=\dfrac{a}{2\cdot sin\alpha }R=
2⋅sinα
a
R=\dfrac{6}{2\cdot sin 60^{0} } =\dfrac{6}{2\cdot\dfrac{\sqrt{3} }{2} } =\dfrac{6}{\sqrt{3} } =\dfrac{6\sqrt{3} }{3} =2\sqrt{3} .R=
2⋅sin60
0
6
=
2⋅
2
3
6
=
3
6
=
3
6
3
=2
3
.
R=2√3 см.