Чтобы решать такие задачи, нужно уметь правильно определять, что есть наша прямая, что есть наклонная к нашей прямой, а что есть проекция наклонной.
4. В четвертой задаче у вас по условию дан уже прямой угол, от этого нужно отталкиваться.
Нам дан прямой угол между BC и AC, эти прямые обе лежат в плоскости нижнего треугольника, значит какая то из них будет являтся искомой прямой, а какая то будет проекцией наклонной на эту же плоскость нижнего треугольника. BC не может быть ничьей проекцией по рисунку, значит она будет являтся нашей прямой. Тогда AC
будет являться чьей-то проекцией. По рисунку видно, что AC будет являтся проекцией MC и MA перпендикуляр к плоскости ACB(если не понятны мои рассуждения, рекомендую разобраться, как строятся
наклонные и их проекции, а также разобраться и с самой теоремой о этих перпендикулярах).
Таким образом, зная все три прямые, можем применять теорему о трех перпендикулярах.
BC (наша прямая в плоскости) перпенд. AC (AC проекция MC) - по условию, значит BC также будет перпендикулярна и самой MC - по теореме.
Дальше просто техническая часть, находим BC из нижнего прямоугольного треугольника и применяем свойство синуса для нахождения гипотенузы MB в треуг. MCB.
5. В пятом задании необходимо правильно определить искомое расстояние, (как известно, расстояние это кратчайший путь, т.е перпендикуляр). Когда мы его проведем (пусть это будет MO),
он будет являтся нашей наклонной на плоскость ABC, далее необходмо будет провести проекцию данной наклонной в плоскости ABC. Так как MO - уже перпендикуляр к
AC, то и его проекция в плоскости также будет перпендикулярна к AC. Далее, похожая техническая часть 4-го задания, увидим в плоскости ABC необходмый прямоугольный треугольник,
применяя свойство синуса найдем катет. И в нашем искомом треугольнике также найдем сторону по Пифагору (зная, что MB перпендикуляр к плоскости).
А5 При симметрии относительно оси Ох меняют знак координаты у и z:
А(0; 1; 2) → A₁ (0; - 1; - 2),
B(3; - 1; 4) → B₁ (3; 1; - 4),
C(- 1; 0; - 2) → C₁ (- 1; 0; 2).
B1 Неполное условие. Должно быть так:
Диагональ осевого сечения цилиндра равна √81 см, а радиус основания – 3 см. Найти высоту цилиндра.
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, одна сторона которого (АВ) равна диаметру основания, а другая - образующая (она же высота).
Из прямоугольного треугольника АВВ₁ по теореме Пифагора:
ВВ₁ = √(АВ₁² - АВ²) = √(81 - 36) = √45 = 3√5 см
ответ: 3√5 см
B2 ΔSOA прямоугольный,
R = OA = SA · cos30° = 8 · cos30° = 8 √3/2 = 4√3 см
h = SO = SA · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см
Sasb = 1/2 AB · SO = 1/2 · 2R · h = R · h = 4√3 · 4 = 16√3 см²
С1 Если призма вписана в шар, то ее основания вписаны в равные круги - параллельные сечения шара, а центр шара - точка О - лежит на середине отрезка КК₁, соединяющего центры этих кругов.
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению. ОК перпендикулярен плоскости АВС. Тогда КК₁ - высота призмы.
ОА - радиус шара, ОА = 4 см,
КА - радиус сечения, или радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС (призма правильная), тогда
КА = а√3/3, где а - ребро осноавния,
КА = 6√3/3 = 2√3 см
Из прямоугольного треугольника АОК по теореме Пифагора:
ОК = √(ОА² - КА²) = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2 см
Объяснение:
Чтобы решать такие задачи, нужно уметь правильно определять, что есть наша прямая, что есть наклонная к нашей прямой, а что есть проекция наклонной.
4. В четвертой задаче у вас по условию дан уже прямой угол, от этого нужно отталкиваться.
Нам дан прямой угол между BC и AC, эти прямые обе лежат в плоскости нижнего треугольника, значит какая то из них будет являтся искомой прямой, а какая то будет проекцией наклонной на эту же плоскость нижнего треугольника. BC не может быть ничьей проекцией по рисунку, значит она будет являтся нашей прямой. Тогда AC
будет являться чьей-то проекцией. По рисунку видно, что AC будет являтся проекцией MC и MA перпендикуляр к плоскости ACB(если не понятны мои рассуждения, рекомендую разобраться, как строятся
наклонные и их проекции, а также разобраться и с самой теоремой о этих перпендикулярах).
Таким образом, зная все три прямые, можем применять теорему о трех перпендикулярах.
BC (наша прямая в плоскости) перпенд. AC (AC проекция MC) - по условию, значит BC также будет перпендикулярна и самой MC - по теореме.
Дальше просто техническая часть, находим BC из нижнего прямоугольного треугольника и применяем свойство синуса для нахождения гипотенузы MB в треуг. MCB.
5. В пятом задании необходимо правильно определить искомое расстояние, (как известно, расстояние это кратчайший путь, т.е перпендикуляр). Когда мы его проведем (пусть это будет MO),
он будет являтся нашей наклонной на плоскость ABC, далее необходмо будет провести проекцию данной наклонной в плоскости ABC. Так как MO - уже перпендикуляр к
AC, то и его проекция в плоскости также будет перпендикулярна к AC. Далее, похожая техническая часть 4-го задания, увидим в плоскости ABC необходмый прямоугольный треугольник,
применяя свойство синуса найдем катет. И в нашем искомом треугольнике также найдем сторону по Пифагору (зная, что MB перпендикуляр к плоскости).
P.S Делать нечего на третьем курсе физмата <3
А1 Если точка лежит в плоскости YOZ, то x=0;
ответ: а) A(0; 1; 1).
A2 Координаты середины отрезка равны полусумме координат концов отрезка:
x(М) = (x(A) + x(В))/2; ⇒ x(B)=2· x(M) - x(A);
x(B) = 2 · (- 2) - 1 = - 5
y(B) = 2 · 4 - 3 = 5
z(B) = 2 · 5 - (- 2) = 12
ответ: a) B(- 5; 5; 12).
A3 B(6; 3; 6) C(- 2; 5; 2)
Если АМ медиана, то M - середина ВС.
x(M) = (6 - 2)/2 = 2; y(M) = (3 + 5)/2 = 4; z(M) = (6 + 2)/2 = 4
M(2; 4; 4); A(1; 2; 3)
AM² = (2 - 1)² + (4 - 2)² + (4 - 3)² = 1 + 4 + 1 = 6;
AM = √6
ответ: а) √6
А4 Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:
↑a · ↑b = 1 · (- 1) + (- 1) · 1 + 2 · 1 = - 1 - 1 + 2 = 0
ответ: б) 0.
А5 При симметрии относительно оси Ох меняют знак координаты у и z:
А(0; 1; 2) → A₁ (0; - 1; - 2),
B(3; - 1; 4) → B₁ (3; 1; - 4),
C(- 1; 0; - 2) → C₁ (- 1; 0; 2).
B1 Неполное условие. Должно быть так:
Диагональ осевого сечения цилиндра равна √81 см, а радиус основания – 3 см. Найти высоту цилиндра.
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, одна сторона которого (АВ) равна диаметру основания, а другая - образующая (она же высота).
Из прямоугольного треугольника АВВ₁ по теореме Пифагора:
ВВ₁ = √(АВ₁² - АВ²) = √(81 - 36) = √45 = 3√5 см
ответ: 3√5 см
B2 ΔSOA прямоугольный,
R = OA = SA · cos30° = 8 · cos30° = 8 √3/2 = 4√3 см
h = SO = SA · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см
Sasb = 1/2 AB · SO = 1/2 · 2R · h = R · h = 4√3 · 4 = 16√3 см²
С1 Если призма вписана в шар, то ее основания вписаны в равные круги - параллельные сечения шара, а центр шара - точка О - лежит на середине отрезка КК₁, соединяющего центры этих кругов.
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению. ОК перпендикулярен плоскости АВС. Тогда КК₁ - высота призмы.
ОА - радиус шара, ОА = 4 см,
КА - радиус сечения, или радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС (призма правильная), тогда
КА = а√3/3, где а - ребро осноавния,
КА = 6√3/3 = 2√3 см
Из прямоугольного треугольника АОК по теореме Пифагора:
ОК = √(ОА² - КА²) = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2 см
КК₁ = 2ОК = 4 см
ответ: 4 см