Два перпендикулярных отрезка KM и LN пересекаются в общей серединной точке P и образуют два равных треугольника KPN и MPL.
Расстояние между точками K и L равно 18,1 см. Какое расстояние между точками M и N?

1. У равных треугольников все соответствующие элементы равны, стороны KP =
и NP =
как соответствующие стороны равных треугольников.

∡
=
° и ∡
=
°, так как их вертикальные углы ∡ KPN = ∡ MPL =
°.

По первому признаку треугольник KPL равен треугольнику
.

2. В равных треугольниках соответствующие стороны равны. Для стороны KL соответствующая сторона — MN.
MN =
см.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.

1) Докажем, что две медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины.

В ΔАВС АМ и ВК - медианы. О - точка пересечения медиан.

Проведем КЕ ║ АМ. Так как АК = КС, то и МЕ = ЕС по теореме Фалеса.

Т.е. Е - середина отрезка МС.

Отметим Р - середину отрезка ВМ и проведем РТ ║ АМ, тогда ВТ = ТО по теореме Фалеса.

Итак, ВР = РМ = МЕ,  РТ ║ МО ║ ЕК, значит ВТ = ТО = ОК по теореме Фалеса.

ВО : ОК = 2 : 1.

Аналогично можно  доказать, что АО : ОМ = 2 : 1.

2) Докажем, что все три медианы пересекаются в одной точке.

Так как две медианы точкой пересечения делятся 2 : 1, то медиана проведенная из вершины С, должна разделить медиану ВК в отношении 2 : 1, т.е. должна пройти через точку О. Следовательно, все три медианы пересекаются в одной точке.

Острый угол 45°, значит угол между меньшей стороной и высотой равен также 45°, находим, что высота равна а.

б. найдем большую диагональ параллелограмма по теореме косинусов
AC^2=2a^2+4a^2-2*a√2*2a*cos135°=6a^2+4a^2=10a^2
AC=a√10
по теореме Пифагора найдем AC1
AC1^2=AA1^2+A1C1^2=a^2+(a√10)^2=a^2+10a^2=11a^2
AC1=a√11
найдем <AC1A1
cos<AC1A1=A1C1/AC1=a√10/a√11=√110/11
значит <AC1A1=17,5°

в. площадь меньшей боковой поверхности АВВ1А1 равна АВ*АА1=а*а√2=а^2√2
площадь большей поверхности ADD1A1 равна AD*DD1=2a*a=2a^2
площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 2(a^2√2+2a^2)=2a^2√2+4a^2

г. площадь полной поверхности равна сумме площадей оснований и боковых поверзхностей
площадь основания (параллелограмма) равна произведению стороны на высоту: 2а*а=2a^2
полная площадь равна: 2a^2√2+4a^2+4a^2=8a^2+2a^2√2