//Две окружности касаются внутренним образом в точке A. Из точки B большей окружности, диаметрально противоположной точке A, проведена хорда BC, касающаяся меньшей окружности в точке P. Точка O центр меньшей окружности. Докажите, что OP ∥ AC
Угол можно найти из прямоугольного ΔАСС1, для этого нужно найти какие-то его 2 стороны АС-вторая диагональ ромба, ее можно найти. Сторона ромба AD=P/4=8√6/4=2√6 использую т. косинусов для нахождения угла ромба ΔDBA; DB=4√2; DA=AB=2√6 DB^2=DA^2+AB^2-2*DA*AB*cos<A 32=24+24-2*24CosA; cosA=1/3, угол А-острый, значит второй угол ромба тупой <D=180-А; cos<D=-cosA=-1/3 По той же т. найду вторую диагональ АС ромба AC^2=(2√6)^2+(2√6)^2-2*(2√6)^2*(-1/3)=24+24+2*24/3=48+16=64 AC=8 Из ΔDBB1 найду ВВ1 BB1=DB*sin45=4√2*√2/2=4 BB1=CC1=4 Тогда sin<CAC1=CC1/AC=4/8=0.5 Значит искомый угол равен 30 градусам
Стороны основания прямого параллелепипеда равны 2 см и 2√3 см, а один из углов основания равен 30 °. Площадь диагонального сечения параллелепипеда, который проходит через меньшую диагональ основания, равен 8 см². Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
АС-вторая диагональ ромба, ее можно найти. Сторона ромба AD=P/4=8√6/4=2√6
использую т. косинусов для нахождения угла ромба
ΔDBA; DB=4√2; DA=AB=2√6
DB^2=DA^2+AB^2-2*DA*AB*cos<A
32=24+24-2*24CosA; cosA=1/3, угол А-острый, значит второй угол ромба тупой <D=180-А; cos<D=-cosA=-1/3
По той же т. найду вторую диагональ АС ромба
AC^2=(2√6)^2+(2√6)^2-2*(2√6)^2*(-1/3)=24+24+2*24/3=48+16=64
AC=8
Из ΔDBB1 найду ВВ1
BB1=DB*sin45=4√2*√2/2=4
BB1=CC1=4
Тогда sin<CAC1=CC1/AC=4/8=0.5
Значит искомый угол равен 30 градусам
Правильное условие задания:
Стороны основания прямого параллелепипеда равны 2 см и 2√3 см, а один из углов основания равен 30 °. Площадь диагонального сечения параллелепипеда, который проходит через меньшую диагональ основания, равен 8 см². Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
В ΔABD применим теорему косинусов:
BD² = AB² + AD² - 2•AB•AD•cos∠BAD
BD² = 2² + (2√3)² - 2•2•2√3•cos30° = 4 + 12 - 8√3•(√3/2) = 16 - 12 = 4
BD² = 4 ⇒ BD = 2 см
Площадь диагонального сечения: S (bb₁d₁d) = 8 см²
BB₁D₁D - прямоугольник ⇒ S = BD • B₁B = 2 • B₁B = 8 ⇒ B₁B = 4 см
Площадь полной поверхности параллелепипеда:
S (полн.) = 2•S (осн.) + S (бок.) = 2 • S (осн.) + P (осн.) • H = 2•(AB•AD•sin30°) + 2•(AB + AD)•B₁B = 2•(2•2√3•sin30°) + 2•(2 + 2√3)•4 = 4√3 + 16 + 16√3 = 20√3 + 16 cм²
ответ: 20√3 + 16 см²