Две окружности (О1; r) и (О2; R) касаются друг друга внешне. Известно, что расстояние между их центрами равно 17 см, а меньший радиус r = 5см. Выполнить рисунок. Найти радиус R. Выполните это же задание при внутреннем касании этих окружностей.
пусть ad> bc , тогда острые углы равные 75 и 15 гр лежат при оснований ad , положим что y,w середины сторон ab и cd соответственно , тогда yw средняя линия трапеции , значит ad+bc=2yw из условия мы знаем что yw равна либо 15 либо 7 , положим что ab и cd пересекаются в точке e , тогда aed=180-(75+15)=90 , положим также что z,x это середины сторон основании bc,ad соотвественно , пусть n точка пересечения yw и zx , тогда по замечательному свойству трапеции точки e,z,x лежат на одной прямой , учитывая что угол aed прямой , получаем что ax=ex=ad/2 , ez=bz=bc/2 , но так как ex=ez+zx откуда окончательно получаем две системы
{ad-bc=2*7
{ad+bc=2*15
или
{ad-bc=2*15
{ad+bc=2*7
подходит решение первой системы , так как они положительны , складывая получаем ad=22 , bc=8 , значит ответ bc=8.
пусть ad> bc , тогда острые углы равные 75 и 15 гр лежат при оснований ad , положим что y,w середины сторон ab и cd соответственно , тогда yw средняя линия трапеции , значит ad+bc=2yw из условия мы знаем что yw равна либо 15 либо 7 , положим что ab и cd пересекаются в точке e , тогда aed=180-(75+15)=90 , положим также что z,x это середины сторон основании bc,ad соотвественно , пусть n точка пересечения yw и zx , тогда по замечательному свойству трапеции точки e,z,x лежат на одной прямой , учитывая что угол aed прямой , получаем что ax=ex=ad/2 , ez=bz=bc/2 , но так как ex=ez+zx откуда окончательно получаем две системы
{ad-bc=2*7
{ad+bc=2*15
или
{ad-bc=2*15
{ad+bc=2*7
подходит решение первой системы , так как они положительны , складывая получаем ad=22 , bc=8 , значит ответ bc=8.
Объяснение:
Дано:
Угол BAD= угол ADH=90°
BC=16см
АВ=АD
Рассмотрим прямоугольный ∆АВD.
Так как по условию меньшее основание трапеции равно меньшей боковой стороне, тоесть AD=AB, то ∆ADB равнобедренный с основанием BD, следовательно:
угол ADB= углу АВD.
Найдем угол ADB:
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, тогда угол ADB=90°:2=45°
Рассмотрим ∆BDC.
Угол DBC=90° (так как по условию диагональ проведённая из тупого угла перпендикулярна большей боковой стороне), следовательно ∆BDC прямоугольный
Угол BDC=угол ADH– угол ADB=90°–45°=45°
Сумма острых углов в прямоугольной треугольнике равна 90°, следовательно угол BCD=90–угол BDC=90°–45°=45°
Получим: угол ВСD = угол BDC, тогда ∆BDC равнобедренный с основанием DC, следовательно BC=BD.
Так как ВС по условию 16 см, то и ВD=16 см.
Проведём высоту BH из угла АВС к стороне DC.
Так как по условию АВ=AD, а угол DAB=90° (прямой угол трапеции), то ABHD — квадрат.
Следовательно: AD=BH=DH
Найдем АD.
По теореме Пифагора BD²=AD²+AB²
16²=2AD²
256=2AD²
128=AD
AD=√128
AD=8√2
Sтрапеции=Sкв+Sтреугольника BHC
Sкв=а²
Где а сторона квадрата
Sкв=(8√2)²=128 см²
Треугольник BHC прямоугольный с прямым углом BHC ( так как BH высота)
Так как угол BCH=45°, то угол HBC=90°–угол BCH=90°–45°=45°
Тогда прямоугольный треугольник BHC равнобедренный.
Площадь прямоугольного равнобедренного треугольника равна половине квадрата стороны, тоесть:
S=0,5*a²
Подставим значения:
S=0,5*(8√2)²=64 см²
Найдем общую площадь:
S=128+64=192 см²
Ртрапеции=AB+AD+DH+HC+BC=8√2+8√2+8√2+8√2+16=4*(8√2)+16=32√2+16 (см)
ответ: S=192 см²
Р=32√2+16 см