Две прямые касаются окружности с центром О в точка P и Q и пересекаются в точке A, причем угол PAQ = 120, а радиус окружности равен 3. а) Найти длину отрезка АО б) Прямая PQ пересекает отрезок AO в точке К. Найдите длину отрезка OK.
РАО - прямоугольный по свойству радиуса и касательной к окружности.
∠РАО=1/2 ∠РАQ, что следует из равенства треугольников РАО и QАО (АР=АQ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, ∠АРО=∠АQО=90°, АО - общая сторона)
∠РАО=120:2=60°, тогда ∠РОА=90-60=30°
а) Найдем АО по теореме синусов
ОР/sin60°=AO/sin90°
AO=3*1:√3/2=6/√3=6√3/3=2√3 cм
б) КР=1/2 ОР по свойству катета, лежащего против угла 30°
2√3 см; ≈2,6 см
Объяснение:
РАО - прямоугольный по свойству радиуса и касательной к окружности.
∠РАО=1/2 ∠РАQ, что следует из равенства треугольников РАО и QАО (АР=АQ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, ∠АРО=∠АQО=90°, АО - общая сторона)
∠РАО=120:2=60°, тогда ∠РОА=90-60=30°
а) Найдем АО по теореме синусов
ОР/sin60°=AO/sin90°
AO=3*1:√3/2=6/√3=6√3/3=2√3 cм
б) КР=1/2 ОР по свойству катета, лежащего против угла 30°
КР=1,5 см
ОК=√(3²-1,5²)=√(9-2,25)=√6,75≈2,6 см.
Объяснение:
Если ∠PAQ = 120°, то угол ∠PAO = 60°, поскольку AO это биссектриса угла. ∠APO - прямой, поскольку AP - касательная. Значит ∠POA = 180-60-90=30°
OP = 3.
AO - гипотенуза в прямоугольном треугольнике.
Из треугольника OKP имеем