А) Окружность, вписанная в ∆ABC, будет являться описанной для ∆MPK. У равностороннего треугольника радиус описанной окружности равен R = a√3/3, а радиус вписанной - r = a√3/6. Тогда R/r = 2. Значит, радиусы описанных окружностей около ∆ABC и ∆MPK будут относиться как 2:1.
б) ∆MPK - это треугольник, образованный средними линиями => его периметр будет равен половине периметра ∆ABC. Кроме этого, ∆ABC~∆MPK и отсюда следует, что SABC/SMPK = k² = (1/2)² = 1/4. Радиус вписанной окружности находится по формуле: r = 2S/P, где S - площадь треугольника, P - периметр треугольника. Пусть r1 - радиус вписанной окружности в ∆ABC, r2 - в ∆MPK, S - площадь ∆MPK r1 = 2•4S/2•3a = 8S/6a = 4S/3a r2 = 2S/3a = 2S/3a r1/r2 = 2/1 = 2:1. ответ: а) 2:1; б) 2:1.
Можно конечно решать геометрически через введение переменных и теорему Пифагора, но, вообще говоря, зная одно из четырех значений тригонометрических функций угла (будь то sin, cos, tg или ctg) через основное тригонометрическое тождество можно найти любое другое значение других тригонометрических функций... У нас дан cos, а нужно найти tg.
Отметим, что угол ∠А располагается в 1 четверти (tg(∠A) нужно брать с плюсом).
Запишем основное тригонометрическое тождество:
sin²(A) + cos²(A) = 1, // Поделим обе части на cos²(A)
У равностороннего треугольника радиус описанной окружности равен R = a√3/3, а радиус вписанной - r = a√3/6. Тогда R/r = 2. Значит, радиусы описанных окружностей около ∆ABC и ∆MPK будут относиться как 2:1.
б) ∆MPK - это треугольник, образованный средними линиями => его периметр будет равен половине периметра ∆ABC. Кроме этого, ∆ABC~∆MPK и отсюда следует, что SABC/SMPK = k² = (1/2)² = 1/4.
Радиус вписанной окружности находится по формуле:
r = 2S/P, где S - площадь треугольника, P - периметр треугольника.
Пусть r1 - радиус вписанной окружности в ∆ABC, r2 - в ∆MPK, S - площадь ∆MPK
r1 = 2•4S/2•3a = 8S/6a = 4S/3a
r2 = 2S/3a = 2S/3a
r1/r2 = 2/1 = 2:1.
ответ: а) 2:1; б) 2:1.
Можно конечно решать геометрически через введение переменных и теорему Пифагора, но, вообще говоря, зная одно из четырех значений тригонометрических функций угла (будь то sin, cos, tg или ctg) через основное тригонометрическое тождество можно найти любое другое значение других тригонометрических функций... У нас дан cos, а нужно найти tg.
Отметим, что угол ∠А располагается в 1 четверти (tg(∠A) нужно брать с плюсом).
Запишем основное тригонометрическое тождество:
sin²(A) + cos²(A) = 1, // Поделим обе части на cos²(A)
tg²(A) + 1 = 1 / cos²(A),
tg(A) = +√((1/cos²(A)) - 1) = +√((1/(25/89)) - 1) = +√((89/25) - 1) = √(64/25) = 8/5 = 1.6
ответ: tg(A) = 1.6