Экзамены экзаменационные билеты по . 7 класс. билет №1. 1. точки. прямые. отрезки. 2. сформулировать и доказать теорему, выражающую третий признак равенства треугольников. 3. внутри равнобедренного треугольника авс с основанием вс взята точка м такая, что угол мвс равен 30, угол мсв равен 10. найти угол амс, если угол вас равен 80 билет №2. 1. виды треугольников. 2. доказать, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 3. отрезки ас и вм пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. доказать, что треугольник авс равен треугольнику сма. билет №3. 1. линии в треугольнике (медиана, биссектриса, высота). 2. доказать, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны 3. на окружности с центром о отмечены точки а и в так, что угол аов прямой. отрезок вс диаметр окружности. докажите, что хорды ав и ас равны билет №4. 1. наклонная, проведенная из данной точки к прямой, расстояние от точки до прямой. 2. доказать, что если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны. 3. два внешних угла треугольника при разныз вершинах равны. периметр треугольника равен 74см, а одна из сторон равна 16 см. найдите две другие стороны треугольника билет №5. 1. определение параллельных прямых, параллельные отрезки. 2. сформулировать и доказать первый признак равенства треугольников. 3. в равнобедренном треугольнике авс с основанием вс проведена медиана ам. найти медиану ам, если периметр треугольника авс равен 32 см, а периметр треугольника авм равен 24 см билет №6. 1. луч угол. виды углов. 2. свойство углов при основании равнобедренного треугольника. 3. сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых с секущей равна 210. найти эти углы билет №7. 1. что такое секущая. назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей. 2. сформулировать и доказать теорему, выражающую второй признак равенства треугольников. 3. отрезок ам биссектриса треугольника авс . через точку м проведена прямая параллельная ас и пересекающая сторону ав в точке е. доказать, что треугольние аме равнобедренный билет №8. 1. объясните, как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. 2. теорема о сумме углов треугольника. 3. на биссектрисе угла а взята точка е, а на сторонах этого угла точки в и с такие, что угол аес равен углу аев. доказать, что ве равно се билет №9. 1. определение окружности, центра, радиуса, хорды и диаметра. 2. неравенство треугольника. 3. отрезки ав и см пересекаются в их общей середине. доказать, что прямые ас и вм параллельны билет №10. 1. аксиомы . аксиома параллельных прямых и свойства из нее вытекающие. 2. свойства прямоугольных треугольников. 3. доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника билет №11. 1. какой треугольник называется прямоугольным. стороны прямоугольного треугольника. 2. доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны. 3. найти смежные углы, если один из них на 45 больше другого билет №12. 1. смежные углы ( определение и свойства). 2. доказать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. 3. докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный билет №13. 1. вертикальные углы (определение и свойства). 2. доказать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. 3. отрезки ав и се пересекаются в их общей середине о. на отрезках ас и ве отмечены точки к и м так, что ак равно вм. доказать , что ок равно ом билет №14. 1. объяснить, как отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному. 2. свойство биссектрисы угла равнобедренного треугольника, проведенной к основанию. 3. один из углов прямоугольного треугольника равен 60, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26,4 см . найти гипотенузу треугольника. билет №15. 1. какая теорема называется обратной к данной теореме. примеры. 2. доказать, что если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. 3. разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50 градусам. найти эти углы.
Даны точки A(0;3;-1), B(-1;-2;5), C(1;0;-4), D(-3;-1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
Находим векторы АВ и АС: АВ = (-1; -5; 6), АС = (1; -3; -3).
Их векторное произведение равно:
i j k| i j
-1 -5 6| -1 -5
1 -3 -3| 1 -3 = 15i + 6j + 3k - 3j + 18i + 5k =
= 33i + 3j + 8k.
Нормальный вектор плоскости АВС это (33; 3; 8).
Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
Подставим координаты точки А: 33*0 + 3*3 + 8*(-1) + D = 0.
1 + D = 0. отсюда D = -1.
Получаем уравнение плоскости АВС: 33x + 3y + 8z - 1 = 0.
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС;
Для параллельной плоскости нормальный вектор сохраняется.
Подставим координаты точки D(-3;-1;-2):
33*(-3) + 3*(-1) + 8*(-2) + D = 0,
-99 - 3 - 16 + D = 0,
-118 + D = 0, отсюда D = 118.
Уравнение 33x + 3y + 8z + 118 = 0.
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0
используем формулу:d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D| /√(A² + B² + C²)
Подставим в формулу данные:
d = |33·(-3) + 3·(-1) + 8·(-2) + (-1)|/ √(33² + 3² + 8²) = |-99 - 3 - 16 - 1|/ √(1089 + 9 + 64) = 119/ √1162 = 17√1162/166 ≈ 3.49095.
4) канонические уравнения прямой АВ; точка A(0;3;-1).
Вектор АВ найден выше: АВ = (-1; -5; 6).
Уравнение АВ: x/(-1) = (y - 3)/(-5) = (z + 1)/6.
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; Направляющий вектор АВ(-1; -5; 6) для параллельной прямой сохраняется. Подставляем координаты точки D(-3;-1;-2).
Уравнение : (x + 3)/(-1) = (y + 1)/(-5) = (z + 2)/6.
6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D(-3;-1;-2) перпендикулярно прямой AB.
Вектор АВ (-1; -5; 6) будет нормальным вектором этой плоскости.
Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
Подставим координаты вектора и точки D:
(-1)*(-3) + (-5)*(-1) + 6*(-2) + D = 0.
-4 + D = 0. отсюда D = 4.
Уравнение: (-1)x + (-5)y + 6z + 4 = 0 или с положительным коэффициентом перед х:
x + 5y - 6z - 4 = 0.
Две окружности ,вписанные в угол ,касаются друг друга внешним образом .Центральный угол в 120° большей окружности , составленный из радиусов проведенных в точки касания ,стягивает дугу 15 см. Найти длину малой окружности.
Объяснение:
Пусть ОА=ОМ=R , CM=CK=r . По формуле длины дуги
,
Пусть СН⊥ОА , тогда ∠НСО=30°.
В ΔНСО по свойству угла 30° : ОС=2*ОН , но ОС=R+r , ОН=R-r ,
тогда R+r=2(R-r) → r=
*R → r= 
(см) .
Длина окружности С=2πr , тогда С=2π*
=15 (см) .