Проведем DK⊥SC. ΔDKC = ΔBKC по двум сторонам и углу между ними (DC = BC как стороны квадрата, КС - общая, углы при вершине С равны, так как боковые грани - равные равнобедренные треугольники). Тогда и ВК⊥SC, значит ∠DKB - линейный угол двугранного угла при боковом ребре пирамиды. Обозначим его α. sinα = 12/13
SC⊥DKB (ребро SC перпендикулярно двум пересекающимся прямым этой плоскости), ⇒ SC⊥OK. Тогда отрезок ОК параллелен высоте треугольника ASC, проведенной из вершины А (обозначим ее h), и равен ее половине. Sasc = 1/2 · SC · h = 1/2 · SC · 2OK = SC·OK = 7√13 ( 1 )
В основании призмы лежит равнобедренный треугольник. Обозначим его за ΔِABC ( где A - вершина, то есть AB=AC=4 - боковые стороны, BC=6 - основание). Опустим в этом ΔِABC высоту AE ( AE ⊥ BC). По свойству равнобедренного треугольника, высота AE (как высота, опущенная из вершины равнобедренного треугольника на его основание), является {также} медианой (и биссектрисой) и делит основание BC пополам (BE = CE = BC/2 = 6/2 = = 3). Из треугольника ΔAEC ( где ∠AEC = 90° ), по теореме пифагора:
ΔDKC = ΔBKC по двум сторонам и углу между ними (DC = BC как стороны квадрата, КС - общая, углы при вершине С равны, так как боковые грани - равные равнобедренные треугольники).
Тогда и ВК⊥SC, значит
∠DKB - линейный угол двугранного угла при боковом ребре пирамиды.
Обозначим его α.
sinα = 12/13
SC⊥DKB (ребро SC перпендикулярно двум пересекающимся прямым этой плоскости), ⇒
SC⊥OK.
Тогда отрезок ОК параллелен высоте треугольника ASC, проведенной из вершины А (обозначим ее h), и равен ее половине.
Sasc = 1/2 · SC · h = 1/2 · SC · 2OK = SC·OK = 7√13 ( 1 )
ΔOKD: OK = KD · cos (α/2)
Угол α тупой, т.к. sin(α/2) = OD/DK > OD/DC = 1/√2
cos α = - √(1 - sin²α) = - √(1 - 144/169) = - √(25/169) = - 5/13
cos (α/2) = √((1 + cos α)/2) = √((1 - 5/13)/2) = √(8/26) = √(4/13) = 2/√13
Вернемся к ΔOKD:
ОК = KD · cos (α/2) = KD · 2/√13
Подставим в равенство (1):
SC · KD · 2/√13 = 7√13
SC · KD = 7√13 · √13 / 2 = 91/2
Но KD - высота боковой грани SCD, проведенная к ребру SC.
Sscd = 1/2 · SC · KD = 1/2 · 91/2 = 91/4
Тогда площадь боковой поверхности:
Sбок = 4 · Sscd = 4 · 91/4 = 91
S₍осн₎ = 3√7
S₍бок₎ = 140
S₍полн₎ = 140 + 6√7
Объяснение:
Дано: треугольная прямая призма ABCA₁B₁C₁; основание призмы - равнобедренный треугольник со сторонами 4(боковая сторона) и 6(основание); боковое ребро призмы - 10.
РЕШЕНИЕ
В основании призмы лежит равнобедренный треугольник. Обозначим его за ΔِABC ( где A - вершина, то есть AB=AC=4 - боковые стороны, BC=6 - основание). Опустим в этом ΔِABC высоту AE ( AE ⊥ BC). По свойству равнобедренного треугольника, высота AE (как высота, опущенная из вершины равнобедренного треугольника на его основание), является {также} медианой (и биссектрисой) и делит основание BC пополам (BE = CE = BC/2 = 6/2 = = 3). Из треугольника ΔAEC ( где ∠AEC = 90° ), по теореме пифагора:
AE² = AC² - CE² ⇒ AE = √(AC² - CE²) = √(4² - 3²) = √(16 - 9) = √7
AE = √7
Находим площадь основания призмы:
S₍осн₎ {как площадь треугольника SΔ} = 1/2 * a * hₐ = 1/2 * BC * AE = 1/2 * 6 * √7 = 3√7
S₍осн₎ = 3√7
Боковые ребра призмы - прямоугольники. Если их обозначить за S₍бок₁₎ = S₍AA₁CC₁₎ = S₍AA₁BB₁₎ и S₍бок₂₎ = S₍BB₁CC₁₎, то
S₍бок₎ = 2S₍бок₁₎ + S₍бок₂₎ = 2*(10 *4) + 10 * 6 = 80 + 60 = 140
S₍бок₎ = 140
Общая же поверхность равняется:
S₍полн₎ = S₍бок₎ + 2S₍осн₎ = 140 + 2*3√7 = 140 + 6√7
S₍полн₎ = 140 + 6√7
*Замечание: в данной задаче (при желании) площадь основания (как площадь треугольника) также можно найти по формуле Геррона.
*Замечание: при решении рекомендуется сделать чертёж: это существенно упростит выполнение задания.