В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, сечение, параллельное основанию пирамиды, очевидно, также является квадратом. В условии данной задачи даны, можно сказать, две таких пирамиды, бОльшая и мЕньшая, и есть соотношения высот и площадей оснований, это прежде всего связано с объемом пирамиды, составляем соотношения. V₁ , V₂ - объём первой и второй пирамид.
Пусть мы имеем прямоугольный треугольник АВС, катет АВ = 20 см, угол В - прямой, высота из прямого угла ВД, проекция ВС на АС равна 42 см. Обозначим сторону ВС за х.
Косинус угла С равен 42/х, он же равен синусу угла А. Высота ВД = √(х²-42²) = √(х²- 1764). Синус угла А равен ВД/АВ = √(х²- 1764)/20. Приравняем: √(х²- 1764)/20 = 42/х. Чтобы избавиться от корня, возведём обе части равенства в квадрат. (х²- 1764)/400 = 1764/х². Получаем биквадратное уравнение х⁴-1764х²- 705600 = 0. Делаем замену: х² = у. у²-1764у-705600 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант: D=(-1764)^2-4*1*(-705600)=3111696-4*(-705600)=3111696-(-4*705600)=3111696-(-2822400)=3111696+2822400=5934096;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: y₁=(√5934096-(-1764))/(2*1)=(2436-(-1764))/2=(2436+1764)/2=4200/2=2100;y₂=(-√5934096-(-1764))/(2*1)=(-2436-(-1764))/2=(-2436+1764)/2=-672/2=-336 этот корень отбрасываем - х² не может быть отрицательным числом. Отсюда х = √2100 = 10√21 ≈ 45,82576 см. Теперь находим сторону АС = √(400+2100) = √2500 = 50 см. Искомая проекция стороны АВ на АС равна 50-42 = 8 см.
В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, сечение, параллельное основанию пирамиды, очевидно, также является квадратом. В условии данной задачи даны, можно сказать, две таких пирамиды, бОльшая и мЕньшая, и есть соотношения высот и площадей оснований, это прежде всего связано с объемом пирамиды, составляем соотношения. V₁ , V₂ - объём первой и второй пирамид.
V₁ / V₂ = (1/3)•S₁•h₁ / (1/3)•S₂•h₂ = S₁•h₁ / S₂•h₂
Очевидно, пирамиды подобны, и отношение их объёмов равно кубу коэффициента подобия
S₁•h₁ / S₂•h₂ = k³
27•3x / S₂•7x = (3/7)³ = 27/343 ⇒ S₂ = 343•3/7 = 147
ответ: 147
Обозначим сторону ВС за х.
Косинус угла С равен 42/х, он же равен синусу угла А.
Высота ВД = √(х²-42²) = √(х²- 1764).
Синус угла А равен ВД/АВ = √(х²- 1764)/20.
Приравняем: √(х²- 1764)/20 = 42/х.
Чтобы избавиться от корня, возведём обе части равенства в квадрат.
(х²- 1764)/400 = 1764/х².
Получаем биквадратное уравнение х⁴-1764х²- 705600 = 0.
Делаем замену: х² = у.
у²-1764у-705600 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант:
D=(-1764)^2-4*1*(-705600)=3111696-4*(-705600)=3111696-(-4*705600)=3111696-(-2822400)=3111696+2822400=5934096;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y₁=(√5934096-(-1764))/(2*1)=(2436-(-1764))/2=(2436+1764)/2=4200/2=2100;y₂=(-√5934096-(-1764))/(2*1)=(-2436-(-1764))/2=(-2436+1764)/2=-672/2=-336 этот корень отбрасываем - х² не может быть отрицательным числом.
Отсюда х = √2100 = 10√21 ≈ 45,82576 см.
Теперь находим сторону АС = √(400+2100) = √2500 = 50 см.
Искомая проекция стороны АВ на АС равна 50-42 = 8 см.