Геометрия 10 класс
1. Знайдіть довжину відрізка з кінця в точках А(-2; 3; -1) і В (2; 4; -9).
2. Задано вектори с і d. Зобразіть їх суму і різницю
3. Знайдіть скалярний добуток векторів a(-3; 4; 2) і m(0; 7; -2)
4. Точка М - середина відрізка АВ. Знайдіть координати точки А, якщо М(-2; 3; -1), В(4; 5; 1).
5. Задано вектори k(2; 0; -1) і t(4; 6; -2). Знайдіть координати вектора:1) 2k - t 2) 3k + 1/2t
6. Запишіть координати точок, симетричних точці В(-2; 0; 3) відносно площини: 1) ху; 2) хz.
7. На осі ординат знайдіть точку, рівновіддалену від точок А(2; -2; 3) і D(4; 0; 5).
8. Знайдіть кут між веторами a(4; 0; -4) і b(1; 1; 0).
9. Доведіть за до веторів, що чотирикутники KLMN є трапецією, якщо K(5; 7; -2), L(5; 2; 3), M(-3; -2; -1), N(-1; 4; -5).
Смотрим рисунок:
В прямоугольном Δ-ке середина гипотенузы (на рисунке - О) есть центр описанной окружности, значит ОА=ОС=ОВ
Если прямой угол делится в отношении 1:2, то ∠АСО=30°, ∠ОСВ=60°
Т.к. ОС=ОВ, то ΔСОВ - равнобедренный, ∠ОСВ=∠ОВС=60°, но тогда также ∠СОВ=60°, таким образом, ΔСОВ не только равнобедренный, но и раносторонний:
ОС=ОВ=ВС=10 см
∠САВ=30°, значит гипотенуза АВ=2ВС=20 см
Меньшая средняя линия равна половине меньшей стороны:
ОМ=ВС/2=5 см
С =90 град
СК - медиана (АК+КВ)
уг КСВ : уг. АСК = 1 : 2
Обозначим через х коэфф.пропорции и составим уравение
х+2х=90
3х=90
х=30
Следовательно, КСВ=30 град
АСК= 60 град
Наименьшая сторона лежим против меньшего угла.
Рассмотрим треугольник СКМ (КМ перпендикулярна СВ и делит СВ пополам, то есть является средней линией треугольника. Треугольник КСМ прямоугольный. В прямоугольном треугольнике катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. СК - гипотенуза, СК=10 см (по условию). Значит КМ=5 см
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Значит, гипотенуза АВ= 2*10=20 см