Построим сумму векторов а и b и их разность. ↑АС = ↑р = ↑а + ↑b ↑DB = ↑q = ↑a - ↑b Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А. ∠ЕАС - искомый. Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов: |↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49 |↑q| = 7 Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°. Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов: |↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129 |↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов: cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC) cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903 cos α = - 13√129/301
в) Нормальный вектор DM определяем из уравнения плоскости АВС.
DN = (7; 26; -8) - он будет направляющим вектором DM.
Если известна некоторая точка пространства (примем точку D), принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами:
( (x - 6)/7) = ((y - 9)/26) = ((z - 20/(-8).
г) Направляющий вектор заданной прямой CN, параллельной АВ, будет равен направляющему вектору АВ: (-12; 2; -4).
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301
Для простоты записи пусть точки обозначены:
A(9; 5; 5), B(-3; 7; 1), C(5; 7; 8), D(6; 9; 2).
а) Для получения уравнения плоскости ABC нужно найти смешанное произведение векторов AB и AC.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 9 y - 5 z - 5
-3 - 9 7 - 5 1 - 5
5 - 9 7 - 5 8 - 5 = 0
x - 9 y - 5 z - 5 | x - 9 y - 5
-12 2 -4 | -12 2
-4 2 3 | -4 2 =
6(x - 9) + 16(y - 5) - 24(z - 5) + 36(y - 5) + 8 (x - 9) + 8(z - 5) =
= 6x - 54 + 16y - 80 - 24z + 120 + 36y - 180 + 8x - 72 + 8z - 40 =
= 14x + 52y - 16z - 306 = 0 или, сократив на 2:
7x + 26y - 8z - 153 = 0.
Подсчёт произведен методом "косых полосок".
б) Находим вектор АВ: (-3-9; 7-5; 1-5) = (-12; 2; -4).
Уравнение АВ: (x - 9)/(-12) = (y - 5)/2 = (z - 5)/(-4).
в) Нормальный вектор DM определяем из уравнения плоскости АВС.
DN = (7; 26; -8) - он будет направляющим вектором DM.
Если известна некоторая точка пространства (примем точку D), принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами:
( (x - 6)/7) = ((y - 9)/26) = ((z - 20/(-8).
г) Направляющий вектор заданной прямой CN, параллельной АВ, будет равен направляющему вектору АВ: (-12; 2; -4).
Подставляем координаты точки С:
Уравнение CN: (x - 5)/(-12) = (y - 7)/2 = (z - 8)/(-4).