a²=(37+8x)*5²/32 т.к. а -целое, то и квадрат его тоже целое и тогда правая часть - тоже целое. т.к. 5² не имеет общих множителей с 32, то (37+8х) делится нацело на 32 и может принимать значения только полного квадрата , т.е. 1,4,9 и т.д.
если оно равно 1, то а=5, тогда х=-5/8 (да,да, именно -5/8 !, потому что реальный рисунок не такой, а именно т.О2 должна находиться между точками О1 и Е), высота к основанию будет =25/8-5/8+3/2=4, тогда половина основания =3, а основание =6. Итак , решено. Но ситуация может быть и другая, когда выражение принимает значение не 1, а 4, как мы сказали раньше. Примем же это. Тогда сторона а=10, х=11,375 Т.е. по идее центр вписанной окружности лежит вне треугольника и треугольник тупоугольный. Но такого быть не может, потому что х- это расстояние между центрами окружностей и оно больше радиуса описанной окружности. Значит, ответ единственный - 5,5,6.
AB = R по условию, значит треугольник АВО равносторонний,
⇒ ∠АОВ = 60°
∠АОВ - центральный, опирается на дугу АВ.
∠АСВ - вписанный, опирается на ту же дугу, значит,
∠АСВ = ∠АОВ/2 = 60°/2 = 30°.
∠АМС = ∠BMD = 120° как вертикальные.
ΔАМС: ∠АМС = 120°, ∠АСМ = 30°, ⇒∠САМ = 30°,
т.е. треугольник АМС равнобедренный, АМ = СМ.
Пусть х - коэффициент пропорциональности,
Тогда ВМ = 2х, МС = 3х.
∠АМВ = 180° - ∠BMD = 180° - 120° = 60° как смежные.
ΔАМВ: BM = 2x, AM = 3x, AB = R, ∠AMB = 60°.
По теореме косинусов:
АВ² = АМ² + МВ² - 2·АМ·МВ·cos60°
R² = 9x² + 4x² - 2·3x·2x·1/2
R² = 13x² - 6x²
7x² = R²
x = R/√7
BC = 5x = 5R/√7 = 5R√7 / 7
Смотри рисунок. Там сделаны дополнительные обозначения.
Из подобия красного треуг. и АВЕ имеем
R:(a/2)=a:(R+r+x)
подставляем исходные значения, получаем
2*25/(8a)=a/(25/8+3/2+x)
откуда после простейшего преобразования получаем
(37+8x)*5²=32a²
a²=(37+8x)*5²/32
т.к. а -целое, то и квадрат его тоже целое и тогда правая часть - тоже целое.
т.к. 5² не имеет общих множителей с 32, то (37+8х) делится нацело на 32 и может принимать значения только полного квадрата , т.е. 1,4,9 и т.д.
если оно равно 1, то а=5, тогда х=-5/8 (да,да, именно -5/8 !, потому что реальный рисунок не такой, а именно т.О2 должна находиться между точками О1 и Е), высота к основанию будет =25/8-5/8+3/2=4, тогда половина основания =3, а основание =6.
Итак , решено.
Но ситуация может быть и другая, когда выражение принимает значение не 1, а 4, как мы сказали раньше.
Примем же это.
Тогда сторона а=10, х=11,375
Т.е. по идее центр вписанной окружности лежит вне треугольника и треугольник тупоугольный. Но такого быть не может, потому что х- это расстояние между центрами окружностей и оно больше радиуса описанной окружности.
Значит, ответ единственный - 5,5,6.