Центр вписанной окружности треугольника = точка пересечения его биссектрис. В правильном треугольнике биссектрисы, высоты и медианы совпадают. По свойству медианы треугольника, точкой пересечения они делятся в соотношении 2:1 Поэтому радиус вписанной окружности правильного треугольника равен 1/3 длины высоты. r = h/3 Отсюда h = 3r = 3×2√3 = 6√3 Высота правильного треугольника образует с его сторонами прямоугольный треугольник. Угол, противолежаший высоте, равен 60°, сторона правильного треугольника является гипотенузой Отсюда длина стороны треугольника: a = h / sin 60° = 6√3 / (√3/2) = 12
Поэтому радиус вписанной окружности правильного треугольника равен 1/3 длины высоты. r = h/3
Отсюда h = 3r = 3×2√3 = 6√3
Высота правильного треугольника образует с его сторонами прямоугольный треугольник. Угол, противолежаший высоте, равен 60°, сторона правильного треугольника является гипотенузой
Отсюда длина стороны треугольника:
a = h / sin 60° = 6√3 / (√3/2) = 12
a) Параллельные отсекают от угла подобные треугольники.
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
MBN~ABC, MN/AC=1/2, S(MBN)= 1/4 S(ABC)
EBF~ABC, EB/AB=1/3, S(EBF)= 1/9 S(ABC)
S(MEFN) =S(MBN)-S(EBF) =(1/4 -1/9)S(ABC) =5/36 S(ABC)
б) Площади треугольников с равным углом относятся как произведения прилежащих сторон.
S(DBK)/S(ABC) =DB*BK/AB*BC =DB/AB *BK/BC =1/3 *4/7 =4/21
S(KCM)/S(BCA) =KC*CM/BC*CA =3/7 *1/4 =3/28
S(MAD)/S(CAB) =MA*AD/CA*AB =3/4 *2/3 =1/2
S(DKM) =S(ABC)-S(DBK)-S(KCM)-S(MAD) =
(1 -4/21 -3/28 -1/2)S(ABC) =(84-16-9-42)/84 *S(ABC) =17/84 S(ABC)