геометрия
Расстояние от прямой AB до точки(рис.9) C в два раза больше расстояния от точки C до плоскости ABD. Найдите угол между плоскостями ABC и ABD.

ответ:  вторая высота равна либо     дм , либо  6 дм .

ΔАВС ,  АС=18 дм , АВ=12 дм ,  СМ ⊥ АВ ,  ВР ⊥ АС .

Одна из высот равна 4 дм .

Так как в условии не сказано, какая высота равна 4 дм , то рассмотрим два случая .

1) Пусть задана высота  СМ=4 дм .

Запишем, чему равна площадь ΔАВС в двух вариантах.

S=0,5*AB*CM = 0,5*AC*BP    ⇒     АВ*СМ=АС*ВР  .

Заменим стороны и высоту известными числами .

12*4=18*ВР  ,  48=18*ВР  ,  ВР=48:18=2 и 2/3 дм

2)  Пусть задана высота ВР=4 дм .

Аналогично имеем  АВ*СМ=АС*ВР  ,   12*СМ=18*4  ,  12*СМ=72  ,

 СМ=72:12=6 дм

Дано: АD⊥АС, АD ⊥АВ. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.  

Следовательно, АD перпендиулярна  плоскости АВС. 

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то  она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.⇒ 

АD⊥ВС 

 Наклонная DС⊥ВС по условию,  АС - проекция DС на плоскость АВС. По т. о 3-х перпендикулярах АС⊥ВС, и ∆ АВС прямоугольный с прямым углом АСВ. 

 ВС⊥DC ( дано), ВС⊥АС ( найдено). ⇒ ВС перпендикулярна  двум пересекающимся прямым в плоскости ADC, следовательно,  ВС перпендикулярна плоскости АDC.

 Площадь прямоугольного ∆ АВС=АС•ВС:2=3•4:2=6 (ед. площади)