Основаниями правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 являются равные правильные треугольники со стороной а. Через сторону основания AB под углом 45° к плоскости основании призмы проведено сечение, пересекающее ребро CC1.
Треугольники DAC и DBC равны по двум сторонам и углу между ними: AC=BC (как стороны правильного треугольника) CD - общая сторона ∠ACD = ∠BCD = 90° (т.к. призма правильная) ⇒ AD = BD ⇒ сечение - равнобедренный треугольник с основанием AB
В прямоугольном треугольнике ACD: ∠ACD = 90° ∠DAC = 45° ∠ADC = 180 - 90 - 45 = 45 (°) ⇒ треугольник ACD - прямоугольный равнобедренный с основанием-гипотенузой AD, боковыми сторонами - катетами AC = DC = a
по теореме Пифагора: AD² = AC² + DC² AD² = a² + a² AD² = 2a² AD = a√2 (см)
В равнобедренном треугольнике ABD: DE - высота, а также медиана и биссектриса, проведенная к основанию ⇒ AE = AB/2 AE = a/2
В прямоугольном треугольнике ADE: Гипотенуза AD = a√2 Катет AE = a/2
а) Длина L бокового ребра пирамиды равна: L = H/sinα = 6/(√2/2) = 6√2 см.
б) Площадь боковой поверхности. Так как боковое ребро образует угол 45 градусов с плоскостью основания, то половина диагонали основания равна высоте пирамиды: (d/2) = H = 6 см. Сторона а основания (это квадрат) равна: а = 2*(d/2)*sin45° = 2*6*(√2/2) = 6√2 см. Периметр основания Р = 4а = 24√2 см. Апофема А = √(Н² + (а/2)²) = √(36 + 18) = √54 = 3√6 см. Sбок = (1/2)РА = (1/2)*24√2*3√6 = 72√3 см².
в) Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)a²H = (1/3)*72*6 = 144 см³.
Через сторону основания AB под углом 45° к плоскости основании призмы проведено сечение, пересекающее ребро CC1.
Треугольники DAC и DBC равны по двум сторонам и углу между ними:
AC=BC (как стороны правильного треугольника)
CD - общая сторона
∠ACD = ∠BCD = 90° (т.к. призма правильная)
⇒ AD = BD
⇒ сечение - равнобедренный треугольник с основанием AB
В прямоугольном треугольнике ACD:
∠ACD = 90°
∠DAC = 45°
∠ADC = 180 - 90 - 45 = 45 (°)
⇒ треугольник ACD - прямоугольный равнобедренный с основанием-гипотенузой AD, боковыми сторонами - катетами AC = DC = a
по теореме Пифагора:
AD² = AC² + DC²
AD² = a² + a²
AD² = 2a²
AD = a√2 (см)
В равнобедренном треугольнике ABD:
DE - высота, а также медиана и биссектриса, проведенная к основанию ⇒ AE = AB/2
AE = a/2
В прямоугольном треугольнике ADE:
Гипотенуза AD = a√2
Катет AE = a/2
По теореме Пифагора
AD² = AE² + DE²
(a√2)² = (a/2)² + DE²
DE² = 2a² - a²/4
DE² = 8a²/4 - a²/4
DE² = 7a²/4
DE = √(7a²/4)
a√7
DE = ---------- (см)
2
S(ABD) = 1/2 * a * DE
1 a√7 a * a√7 a²√7
S(ABD) = ------- * a * ---------- = --------------- = ------------ (см²)
2 2 2 * 2 4
Не соответствует ни одному из вариантов ответа.
L = H/sinα = 6/(√2/2) = 6√2 см.
б) Площадь боковой поверхности.
Так как боковое ребро образует угол 45 градусов с плоскостью основания, то половина диагонали основания равна высоте пирамиды:
(d/2) = H = 6 см.
Сторона а основания (это квадрат) равна:
а = 2*(d/2)*sin45° = 2*6*(√2/2) = 6√2 см.
Периметр основания Р = 4а = 24√2 см.
Апофема А = √(Н² + (а/2)²) = √(36 + 18) = √54 = 3√6 см.
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*24√2*3√6 = 72√3 см².
в) Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)a²H = (1/3)*72*6 = 144 см³.