1. Угол КАВ - угол между касательной АК и хордой АВ, проходящей через точку касания А, равен половине градусной меры дуги АВ, заключённой между его сторонами. Вписанный угол АСВ опирается на эту же дугу АВ, а вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Следовательно, ∠АСВ = ∠КАВ, что и требовалось доказать.
2. Т.к. углы АВК И ВАС- это внутренние накрест лежащие при КВ║АС и секущей АВ, то ∠АВК =∠ВАС. ∠АСВ = ∠КАВ (доказано выше).
По сумме внутренних углов треугольников АВС и КАВ имеем:
∠АВС = 180 - (∠АСВ + ∠ВАС)
∠АКВ = 180 - (∠КАВ + ∠АВК) =>
∠АВС = ∠АКВ. => ∠АВК = ∠АКВ =>
Треугольник КАВ - равнобедренный, так как углы при основании ВК равны. Что и требовалось доказать.
3. Треугольники АСВ и КАВ подобны по 2 признаку подобия (по двум углам) с коэффициентом подобия k = АС/АВ. (Отношение соответственных сторон треугольников).
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Sabc/Sabk = k² = АС²/АВ².
По теореме косинусов в тр-ке АВС найдем:
АВ²=2АС²-2АС²·Cosα = 2АC²·(1-Cosα).
Тогда k²=АС²/(2АC²·(1-Cosα)) = 1/(2·(1-Cosα)). =>
к² зависит только от угла α, то есть
отношение площадей зависит только от величины угла АСВ.
Я отвечу только на второе
Доказательства в объяснении.
Объяснение:
1. Угол КАВ - угол между касательной АК и хордой АВ, проходящей через точку касания А, равен половине градусной меры дуги АВ, заключённой между его сторонами. Вписанный угол АСВ опирается на эту же дугу АВ, а вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Следовательно, ∠АСВ = ∠КАВ, что и требовалось доказать.
2. Т.к. углы АВК И ВАС- это внутренние накрест лежащие при КВ║АС и секущей АВ, то ∠АВК =∠ВАС. ∠АСВ = ∠КАВ (доказано выше).
По сумме внутренних углов треугольников АВС и КАВ имеем:
∠АВС = 180 - (∠АСВ + ∠ВАС)
∠АКВ = 180 - (∠КАВ + ∠АВК) =>
∠АВС = ∠АКВ. => ∠АВК = ∠АКВ =>
Треугольник КАВ - равнобедренный, так как углы при основании ВК равны. Что и требовалось доказать.
3. Треугольники АСВ и КАВ подобны по 2 признаку подобия (по двум углам) с коэффициентом подобия k = АС/АВ. (Отношение соответственных сторон треугольников).
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Sabc/Sabk = k² = АС²/АВ².
По теореме косинусов в тр-ке АВС найдем:
АВ²=2АС²-2АС²·Cosα = 2АC²·(1-Cosα).
Тогда k²=АС²/(2АC²·(1-Cosα)) = 1/(2·(1-Cosα)). =>
к² зависит только от угла α, то есть
отношение площадей зависит только от величины угла АСВ.
Что и требовалось доказать.
Площадь ромба 240 см², а разность диагоналей 14 см. Найти периметр ромба.
ответ: 68 см
Объяснение: Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Примем меньшую диагональ d=х. Тогда, согласно условию, D=х+14.
Ѕ=0,5•х•(х+14)=240 ⇒ х²+14х-480=0
Решение через дискриминант
D=b²-4ac=142-4·1·(-480)=2116 Т.к. D>0, уравнение имеет два корня.
х₁=[-14+√(2116)]:2=16
х₂=[-14-√2116]:2=-30 ( не подходит). ⇒
d=16 см, D=16+14=30 см
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны. ⇒
d²+D²=4а²
4а²=16²+30²=1156 ⇒ а=√(1156:4)=17 см
P=4•17=68 см