Через вершину А в равностороннем треугольнике АВС проходит прямая l, образующая с плоскостью треугольника угол 60°. Определите расстояние между этой прямой и стороной ВС, если l образует со сторонами АВ и АС равные углы.
–––––––––––––––––
. Поскольку длина стороны ∆ АВС не указана, примем её длину равной а.
Прямая l образует со сторонами АВ и АС равные углы. Отметим на l точку М и опустим из нее на АВ и АС перпендикуляры МЕ и МР.
∆ АЕМ=∆ МРА по гипотенузе и острому углу. Тогда ЕА=АР, отрезок ЕР параллелен ВС и ∆ ЕАР - равносторонний.
МА проецируется на биссектрису АН треугольника АВС. АН - биссектриса, высота, медиана.
Все углы правильного треугольника 60°.
АН=АС•sin60°=а√3/2
Прямая ВС лежит в плоскости ∆ АВС, а прямая l эту плоскость пересекает в точке, не принадлежащей прямой ВС. =>
Прямые АВ и l - скрещивающиеся.
Для нахождения расстояния между прямыми АМ и ВС нужно
провести плоскость, перпендикулярную прямой ВС. Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Прямые МН и АН лежат в плоскости АМН и перпендикулярны ВС. ( АН - перпендикулярна как высота ∆ АВС, МН -по т. о 3-х перпендикулярах- наклонная, чья проекция лежит на АН)
Из точки Н пересечения плоскости АМН с прямой ВС опустим перпендикуляр НК на прямую АМ. Отрезок НК - искомое расстояние.
∆ АКН прямоугольный, угол КАН=60° по условию.
НК=АН•sin60°=а√3/2•√3/2=3а/4
——————
Если длина АВ другая, нужно подставить ее в найденный ответ вместо а.
Если соединить заданную точку с вершинами треугольника, то получим 3 треугольника с боковыми сторонами 3, 4 и 5 и с равными основаниями. По теореме косинусов составим 3 уравнения, выразив основания "а" через боковые стороны и угол при вершине. а² = 3²+4²-2*3*4*cosα = 25 - 24*cosα a² = 4²+5²-2*4*5*cosβ = 41 - 40*cosβ a² = 5²+3²-2*5*3*cosω = 34 - 30*cosω Получаем 4 неизвестных: а, α, β и ω. Поэтому добавляем четвёртое уравнение: α + β + ω = 2π. Ниже приведено решение системы этих уравнений методом итераций: α градус α радиан cos α a² = a = 25 24 150.0020 2.6180 -0.8660 45.7850 6.7665 41 40 96.8676 1.6907 -0.1196 45.7830 6.7663 34 30 113.1304 1.9745 -0.3928 45.7848 6.7664. С точностью до третьего знака получаем значение стороны равностороннего треугольника, равной 6,766 единиц.
Условие исправлено в комментариях.
Через вершину А в равностороннем треугольнике АВС проходит прямая l, образующая с плоскостью треугольника угол 60°. Определите расстояние между этой прямой и стороной ВС, если l образует со сторонами АВ и АС равные углы.–––––––––––––––––
. Поскольку длина стороны ∆ АВС не указана, примем её длину равной а.
Прямая l образует со сторонами АВ и АС равные углы. Отметим на l точку М и опустим из нее на АВ и АС перпендикуляры МЕ и МР.
∆ АЕМ=∆ МРА по гипотенузе и острому углу. Тогда ЕА=АР, отрезок ЕР параллелен ВС и ∆ ЕАР - равносторонний.
МА проецируется на биссектрису АН треугольника АВС. АН - биссектриса, высота, медиана.
Все углы правильного треугольника 60°.
АН=АС•sin60°=а√3/2
Прямая ВС лежит в плоскости ∆ АВС, а прямая l эту плоскость пересекает в точке, не принадлежащей прямой ВС. =>
Прямые АВ и l - скрещивающиеся.
Для нахождения расстояния между прямыми АМ и ВС нужно
провести плоскость, перпендикулярную прямой ВС. Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Прямые МН и АН лежат в плоскости АМН и перпендикулярны ВС. ( АН - перпендикулярна как высота ∆ АВС, МН -по т. о 3-х перпендикулярах- наклонная, чья проекция лежит на АН)
Из точки Н пересечения плоскости АМН с прямой ВС опустим перпендикуляр НК на прямую АМ. Отрезок НК - искомое расстояние.
∆ АКН прямоугольный, угол КАН=60° по условию.
НК=АН•sin60°=а√3/2•√3/2=3а/4
——————
Если длина АВ другая, нужно подставить ее в найденный ответ вместо а.
По теореме косинусов составим 3 уравнения, выразив основания "а" через боковые стороны и угол при вершине.
а² = 3²+4²-2*3*4*cosα = 25 - 24*cosα
a² = 4²+5²-2*4*5*cosβ = 41 - 40*cosβ
a² = 5²+3²-2*5*3*cosω = 34 - 30*cosω
Получаем 4 неизвестных: а, α, β и ω.
Поэтому добавляем четвёртое уравнение:
α + β + ω = 2π.
Ниже приведено решение системы этих уравнений методом итераций:
α градус α радиан cos α a² = a =
25 24 150.0020 2.6180 -0.8660 45.7850 6.7665
41 40 96.8676 1.6907 -0.1196 45.7830 6.7663
34 30 113.1304 1.9745 -0.3928 45.7848 6.7664.
С точностью до третьего знака получаем значение стороны равностороннего треугольника, равной 6,766 единиц.