ХОТЯ БЫ ОДНО БУДУ БЛАГОДАРЕН ​

1) Центром вписанной окружности треугольника является точка пересечения биссектрис.

Биссектриса к основанию равнобедренного треугольника является высотой и медианой.

MO - биссектриса, KE - биссектриса, высота и медиана.

ME=EN=10

По теореме Пифагора

KE =√(MK^2-ME^2) =12*2 =24

По теореме о биссектрисе

KO/OE =MK/ME =13/5 => OE =5/18 KE =20/3  

Или по формулам

S=pr

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где p=(a+b+c)/2

Отсюда

r=√[(p-a)(p-b)(p-c))/p]

при a=b

r=c/2 *√[(a -c/2)/(a +c/2)] =10*√(16/36] =20/3

3) Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой, K=90

MN =2*OM =26

По теореме Пифагора

KN =√(MN^2-MK^2) =5*2 =10

P(KMN) =2(5+12+13) =60

Пусть данный отрезок АВ, плоскости α и β, А∈α,  В∈β .

Проведем ВС ⊥ α и АМ ⊥ β. Так как плоскости α и β взаимно перпендикулярны, то С и М лягут на линию их пересечения. 

АС - проекция АВ на α, 

АМ - проекция АВ на  β.

      Угол между наклонной и плоскостью - это угол между наклонной и её проекцией на плоскость. 

ВС  ⊥ плоскости α, следовательно, перпендикулярна любой прямой, проходящей через т.С, ⇒ АС ⊥ ВС.

В ∆ АВС  угол С=90°, тогда ВС=АВ•sin30°=a/2.

АМ⊥плоскости β, ⇒ перпендикулярна любой прямой, проходящей через М. 

 В ∆ АМВ угол АВМ=45°,  след.  ВМ=АВ•cos45°=(a√2)/2

Из прямоугольного ∆ АМС ( угол М=90°)  по т.Пифагора 

МС=√(МВ²-АС²)=√[(a√2)/2)² -(a/2)²]  ⇒ 

MC=√(a²/4)=a/2