Дан прямой цилиндр с радиусом круга 3 и высотой 4. Найдите V и
S( бок.поверхности) , вписанного в этот цилиндр прямого конуса (вершина конуса находится в центре одного из оснований цилиндра). ответы разделите на π и округлите до сотых, при необходимости.
Объяснение:
Если конус вписан в цилиндр , то основания совпадают, поэтому
r( конуса)=3.
Т.к. вершина конуса находится в центре верхнего основания цилиндра , то h( цилиндра)=h( конуса)=4.
Основание пирамиды - ромб. Большая диагональ d, острый угол =60°. Все двугранные углы при основании равны 60°. Найти площадь полной поверхности пирамиды. Двугранные углы при основании равны 60°, значит, проекции апофем равны между собой и равны радиусу вписанной в данный ромб окружности. Сделаем рисунок пирамиды SABCD и отдельно ее основания АВСD. АС=d АО=d/2 Сумма углов при стороне параллелограмма равна 180°⇒ ∠ABC=180°-60°=120° ∠ABO=120°:2=60° сторона ромба АВ=АО:sin 60°=d/√3 ∠ОАВ=ОАD=60°:2=30° ОН=АО:2=d/4 (противолежит углу 30°) Апофема SH=OH/cos∠OHS= (d/4):cos60°=(d/4):1/2=d/2=0,5d Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей ее четырех боковых граней и основания. S ASD=AD*SH:2=[0,5d*d/√3];2=0,25d²/√3 Площадь боковой поверхности Ѕбок=4*0,25d²/√3=d²/√3 Площадь основания=площадь ромба Треугольник АВD- равносторонний. Высота ромба ВМ=АО=d/2 S ABCD=AD*ВМ=(d²/√3):2 Sполн==(d²/√3):2+d²/√3=3d²/2√3=(d²√3):2
Дан прямой цилиндр с радиусом круга 3 и высотой 4. Найдите V и
S( бок.поверхности) , вписанного в этот цилиндр прямого конуса (вершина конуса находится в центре одного из оснований цилиндра). ответы разделите на π и округлите до сотых, при необходимости.
Объяснение:
Если конус вписан в цилиндр , то основания совпадают, поэтому
r( конуса)=3.
Т.к. вершина конуса находится в центре верхнего основания цилиндра , то h( цилиндра)=h( конуса)=4.
V(конуса )=1/3*S(осн)*h , V(пирам)=1/3*(π*3²)*4=12π .
S(бок.конуса )= π * r* L . Найдем L из прямоугольного треугольника по т. Пифагора L= √( 3³+4²)=√25=5.
S(бок.конуса )=π*3*5=15π.
ответ : V(пирам)/π=12 , S(бок.конуса )/π=15.
Двугранные углы при основании равны 60°, значит, проекции апофем равны между собой и равны радиусу вписанной в данный ромб окружности.
Сделаем рисунок пирамиды SABCD и отдельно ее основания АВСD.
АС=d
АО=d/2
Сумма углов при стороне параллелограмма равна 180°⇒
∠ABC=180°-60°=120°
∠ABO=120°:2=60°
сторона ромба АВ=АО:sin 60°=d/√3
∠ОАВ=ОАD=60°:2=30°
ОН=АО:2=d/4 (противолежит углу 30°)
Апофема SH=OH/cos∠OHS= (d/4):cos60°=(d/4):1/2=d/2=0,5d
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей ее четырех боковых граней и основания.
S ASD=AD*SH:2=[0,5d*d/√3];2=0,25d²/√3
Площадь боковой поверхности
Ѕбок=4*0,25d²/√3=d²/√3
Площадь основания=площадь ромба
Треугольник АВD- равносторонний.
Высота ромба ВМ=АО=d/2
S ABCD=AD*ВМ=(d²/√3):2
Sполн==(d²/√3):2+d²/√3=3d²/2√3=(d²√3):2