Из круга, радиус которого равен 30 см, вырезан сектор. Площадь оставшейся части круга равна 500π. Чему равна дуга сектора?
1) при нахождении Sоставшейся части круга использовали равенство:
Sоставшейся = S - Sсектора
2) Формула Sкруга = ……. ; πR²
3) Формула Sсектора = …… πR² · α / 360°
4) Вычисляю Sкруга = …….
5) Вычисляю Sсектора = ……
6) подставляю в равенство (в пункте 1) и в левую часть, и в правую часть, переходим к нахождению значения дуги сектора.
Чертеж к решению - во вложении.
Т.к. О - центр вписанной в ΔАВС окружности, то О - точка пересечения биссектрис углов ΔАВС. Значит, АО и ВО - биссектрисы.
Т.к. О1 - центр внеписанной окружности то О1 - точка пересечения биссектрис внешних углов ΔАВС. Значит, АО1 и ВО1 - биссектрисы.
Пусть α - величина внешнего угла ΔАВС при вершине А, тогда (180°-α) - величина внутреннего угла ΔАВС при вершине А, т.к. эти углы - смежные.
Тогда
Аналогично,
Рассмотрим четырехугольник АОВО1.
У него сумма противолежащих углов А и В равна 90°+90° = 180°.
Т.к. сумма всех углов этого выпуклого четырехугольника равна 360°, то сумма двух других противолежащих при вершинах О и О1 также равна 180°.
Таким образом, воспользуемся утверждением: если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Делаем вывод, точки А, В, О и О1 лежат на одной окружности.
Доказано.
Дано: ΔАВС, КМ - средняя линия.
Доказать: КМ ║ АС, КМ = АС/2
Доказательство:
1. Через точку К (середину стороны АВ) проведем прямую, параллельную стороне АС.
По теореме Фалеса эта прямая разделит сторону ВС пополам, значит пройдет через точку М.
Средняя линия КМ лежит на прямой, параллельной АС, значит
КМ ║ АС.
2. Через точку М проведем прямую, параллельную стороне АВ.
По теореме Фалеса она разделит сторону АС пополам. Н - середина АС.
АКМН - параллелограмм, так как КМ ║ АН и МН ║ АК по построению, значит КМ = АН = АС/2