У треугольников ABC и DEC стороны общего угла пропорциональны.
CE = CB*cos(C); CD = CA*cos(C);
поэтому эти треугольники подобны, и AB = ED/cos(C);
Поскольку ∠HEC = ∠HDC = 90°; то окружность, построенная на CH, как на диаметре, пройдет через точки D и E.
Поэтому CH - диаметр окружности, описанной вокруг треугольника DEC, и по теореме синусов ED = CH*sin(C);
Отсюда sin(C) = 12/13; => cos(C) = 5/13;
AB = 60*13/5 = 156;
Можно получить такую "обратную теорему Пифагора"
(1/ED)^2 = (1/AB)^2 + (1/CH)^2; :)
это соотношение решает задачку в общем виде, если в условии не скрыта Пифагорова тройка (как тут - 5,12,13)
Объяснение:
Параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым.
1. Плоскости граней AA₁D₁D и ВВ₁С₁С параллельны. Они пересечены плоскостью (АВ₁С₁), значит линии пересечения параллельны.
(АВ₁С₁) ∩ (ВВ₁С₁) = В₁С₁,
В₁С₁ ║ВС и ВС║AD как противолежащие стороны прямоугольников, ⇒ В₁С₁ ║ AD. Тогда
(АВ₁С₁) ∩ (АА₁D₁) = AD.
AB₁C₁D - сечение параллелепипеда плоскостью (АВ₁С₁).
2. Секущая плоскость и плоскость (АВ₁С₁) параллельны, значит они пересекаются плоскостями граней параллелепипеда по параллельным прямым.
Проведем МТ║AD, MK║DC₁, TP║AB₁ и PK║B₁C₁.
MKPT - искомое сечение.
3. ТМ║ВС, ВТ║СМ, ∠ТВС = 90°, значит ТВСМ прямоугольник,
ТМ = ВС = 4.
Аналогично, РК = ВС = 4.
МКРТ - параллелограмм, так как МТ║РК и МТ = РК.
М - середина CD, МК║DC₁, значит МК - средняя линия ΔDCC₁, тогда К - середина СС₁.
ΔМКС: ∠МСК = 90°, МС = CD/2 = 4, СК = СС₁/2 = 3, значит МК = 5 (египетский треугольник).
Pmkpt = 2(TM + MK) = 2 · (4 + 5) = 2 · 9 =18
У треугольников ABC и DEC стороны общего угла пропорциональны.
CE = CB*cos(C); CD = CA*cos(C);
поэтому эти треугольники подобны, и AB = ED/cos(C);
Поскольку ∠HEC = ∠HDC = 90°; то окружность, построенная на CH, как на диаметре, пройдет через точки D и E.
Поэтому CH - диаметр окружности, описанной вокруг треугольника DEC, и по теореме синусов ED = CH*sin(C);
Отсюда sin(C) = 12/13; => cos(C) = 5/13;
AB = 60*13/5 = 156;
Можно получить такую "обратную теорему Пифагора"
(1/ED)^2 = (1/AB)^2 + (1/CH)^2; :)
это соотношение решает задачку в общем виде, если в условии не скрыта Пифагорова тройка (как тут - 5,12,13)
Объяснение:
Параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым.
1. Плоскости граней AA₁D₁D и ВВ₁С₁С параллельны. Они пересечены плоскостью (АВ₁С₁), значит линии пересечения параллельны.
(АВ₁С₁) ∩ (ВВ₁С₁) = В₁С₁,
В₁С₁ ║ВС и ВС║AD как противолежащие стороны прямоугольников, ⇒ В₁С₁ ║ AD. Тогда
(АВ₁С₁) ∩ (АА₁D₁) = AD.
AB₁C₁D - сечение параллелепипеда плоскостью (АВ₁С₁).
2. Секущая плоскость и плоскость (АВ₁С₁) параллельны, значит они пересекаются плоскостями граней параллелепипеда по параллельным прямым.
Проведем МТ║AD, MK║DC₁, TP║AB₁ и PK║B₁C₁.
MKPT - искомое сечение.
3. ТМ║ВС, ВТ║СМ, ∠ТВС = 90°, значит ТВСМ прямоугольник,
ТМ = ВС = 4.
Аналогично, РК = ВС = 4.
МКРТ - параллелограмм, так как МТ║РК и МТ = РК.
М - середина CD, МК║DC₁, значит МК - средняя линия ΔDCC₁, тогда К - середина СС₁.
ΔМКС: ∠МСК = 90°, МС = CD/2 = 4, СК = СС₁/2 = 3, значит МК = 5 (египетский треугольник).
Pmkpt = 2(TM + MK) = 2 · (4 + 5) = 2 · 9 =18