Войти Регистрация Спроси ai-bota

Из основания высоты правильной треугольной пирамиды опущен перпендикуляр длиной 1 на боковую грань. Найдите объём пирамиды, если боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60°.

Из основания высоты правильной треугольной пирамиды опущен перпендикуляр длиной 1 на боковую грань.

Показать ответ

Ответ:

SoMood

25.04.2021 20:49

$\boldsymbol{\dfrac{13\sqrt{39}}{12}}$

Объяснение:

Пирамида правильная, значит в основании правильный треугольник, О - центр вписанной и описанной окружности.

Пусть сторона основания - а.

$OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ как радиус окружности, вписанной в основание.

$OB=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ как радиус окружности, описанной около основания.

ΔSOB:

$\dfrac{SO}{OB}=tg60^\circ$

$SO=OB\cdot tg60^\circ=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}=a$

ΔHSO: по теореме Пифагора

$SH=\sqrt{SO^2+OH^2}=\sqrt{a^2+\dfrac{3a^2}{36}}=\sqrt{\dfrac{39a^2}{36}}=\dfrac{a\sqrt{39}}{6}$

Высота прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой с:

$h=\dfrac{ab}{c}$

Из прямоугольного треугольника HSO:

$OK=\dfrac{SO\cdot OH}{SH}=\dfrac{a\cdot\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{39}}{6}}=\dfrac{a\cdot\sqrt{3}\cdot 6}{6\cdot a\sqrt{39}}=\dfrac{a}{\sqrt{13}}$

OK = 1

$\dfrac{a}{\sqrt{13}}=1$

$a=\sqrt{13}$

Площадь основания:

$S=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{13\sqrt{3}}{4}$

$V=\dfrac{1}{3}S\cdot SO$

$V=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{13\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{13}=\boldsymbol{\dfrac{13\sqrt{39}}{12}}$

Из основания высоты правильной треугольной пирамиды опущен перпендикуляр длиной 1 на боковую грань.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Геометрия

лера23451

16.12.2022 13:30

Найдите углы параллелограма если один из углов в 2 раза меньше другого....

Drzk

12.10.2020 18:08

Сформулюйте умови за яких АВС подібний А1В1С1 за трьома сторонами...

ГульнараС

13.06.2022 02:32

Вот фото решите 14 15 16...

lear8765

14.10.2021 04:49

Решите задачи с решением 14 15 16 нужен ответ...

ТаняВолк15

08.05.2020 16:37

Кут між діагоналями прямокутника дорівнює 60 градусів,менша його сторона дорівнює 4 см.Знайдіть діагоналі прямокутника....

maks737

29.08.2021 07:22

Дано два рівні і паралельні відрізку. Побудуйте їх центр симетрія. Доведіть, що побудована точка - центр симетрія даних відрізків...

228666228666228

29.08.2021 07:22

Найдите градусную меру угла FGH...

rererer2

03.11.2022 17:00

Побудуйте фігуру у яку переходить даний паралелегоам ABCD при паралельному перенесенні на вектор AB...

Saxarok2018

10.10.2022 10:28

решить задачу по геометрии: В трапеции ABCD AD и BC – основания, О – точка пересечения диагоналей. BO : OD = 3 : 4. Найдите основания трапеции, если одно из них на 8см...

ононрро

26.04.2023 10:36

Свинцевий дріт діаметром 4 мм і довжиною 8/3 мм переплавили у кулю. Знайдіть площу поверхні та радіус одержаної кулі....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку