из вершины прямого угла c равнобедренного прямоугольного треугольника abc у которого ac=cb=12см, проведён к плоскости перпендикуляр cp. прямая bp образует с плоскостью треугольника угол 60 градусов. найти угол между прямой mp и плоскостью треугольника, если m середина гипотенузы ab

Так как плоскость квадрата перпендикулярна  плоскости треугольннка ВСМ  то вугранный угол ВС  прямой.В треугольнике ВСМ сторона вс =СМ = а стороне квадсрта  Из вершины М проведём в треугольникеВМС выоту
,МК, а в плоскости квадрата  Проведём прямую параллено сороне квадрата КР, тогда угол Мкр - линйный угол двугранного угла вс и равен 90 градусов.  отрезок МР будет перрпендикулярен  к АД по теореме о трёх перпендикулярах и  явлется высотой в треугольнике АМД. Тогда S треугольника АМД равна  1/2МР* АД
 МР найдем из прямоугольного треугольника МКР по теореме Пифагора МК равен  а/2,т.к. в треугольникеСМК - это катет, лежащий против угла 30  грдусов , РК=а , тогда МК= корень квадратный из суммы  а вквалрате + а/2 в квадрте и равен ауножит на корень из5 делённое на 2. , тогда  площадь АМ Д равна  а в квадранте умножить на кореньиз 5 делённое на2.

Сфера пересечена плоскостью, находящейся на расстоянии х от центра сферы (обозначим центр сферы точкой О). В сечении получается окружность. Обозначим центр этой окружности точкой О1. Отрезок ОО1 (равный х) и есть искомое расстояние. В окружность вписан прямоугольник (пусть АВСD). Его диагонали (АС и BD) равны диаметру этой окружности (d) и пересекаются в точке О1. Из центра сферы (точка О) проведем радиусы ОА и ОС к двум противоположным углам прямоугольника. Получим равнобедренный треугольник ОАС. ОО1 - является его высотой, медианой и биссектрисой, и делит его на два равных прямоугольных треугольника ОО1А и ОО1С. Значит АО1=О1С=16/2=8 см. Из одного из этих прямоугольных треугольников по Пифагору вычисляем расстояние ОО1. Оно равно √(10^2-8^2)=6 см.