Из вершины тупого угла ромба проведен перпендикуляр к стороне. этот перпендикуляр пересекает диагональ под углом в 60 градусов. найдите длину этой диагонали, если длина перпендикуляра равна 6 см.
Пусть точка E - середина AB. Вокруг четырехугольника AEKC можно описать окружность. Поэтому сумма углов EKC и BAC равна 180°, что означает, что угол EKB = угол BAC, то есть треугольники ABC и BEK подобны (у них все углы равны). Из этого подобия следует BK/BA = BE/BC, или, если положить AB = c, AC = b, BC = a, то (a/4)/c = (c/2)/a; a = c√2; коэффициент подобия треугольников ABC и BEK равен √2/4; это легко получается из условия. Далее, пусть угол ABC = β; и еще надо обозначить CE = m; (это медиана треугольника ABC к стороне AB). Из условия известно, что радиус окружности, описанной вокруг треугольника AEC, равен 5. Кроме того, известно, что площадь ACE равна половине площади ABC, поскольку CE - медиана. Как уже было найдено, если AB = c, то AE = c/2; BC = c√2; откуда Sabc = BA*BC*sin(β)/2 = (c^2)*√2*sin(β)/2; Seac = Sabc/2 = (c^2)*√2*sin(β)/4; По теореме косинусов для треугольника ABC (AC)^2 = b^2 = c^2 + (c√2)^2 - 2*c*(c√2)*cos(β) = (c^2)*(3 - 2√2*cos(β)); по теореме косинусов для треугольника EBC (EC)^2 = m^2 = (c/2)^2 + (c√2)^2 - 2*(c/2)*(c√2)*cos(β) = (c^2)*(9/4 - √2*cos(β)); Далее, используя известную формулу (R = abc/4S) для радиуса описанной окружности для треугольника AEC, легко получить 5 = AE*AC*EC/(4*Saec) = (c/2)*(c√(3 - 2√2*cos(β)))*(c√(9/4 - √2*cos(β))/((c^2)*√2*sin(β)); или 5 = с*(√(3 - 2√2*cos(β)))*(√(9/4 - √2*cos(β))/(2√2*sin(β)); Никаких дополнительных условий в задаче нет, то есть угол ABC = β; может принимать любые значения из области определения полученной функции. Кроме того, подобие треугольников ABC и KBE при любом значении β ВСЁ РАВНО означает, что вокруг четырехугольника AEKC можно описать окружность Правда, радиус этой окружности зависит от угла ABC = β. Но из последнего соотношения видно, что этот радиус пропорционален стороне AB = c. Что означает, что из условия задачи И НЕЛЬЗЯ определить, чему равен β. Поэтому из этого соотношения следует два вывода 1) условие задачи СКОРЕЕ ВСЕГО не полное, точнее - в задаче есть неопределенный параметр. 2) последнее соотношение фактически и есть решение поставленной задачи, определяющее величину стороны AB = с, и всех остальных сторон, само собой, как функцию неопределенного параметра β. Напомню, что BC = с*√2, а AC = c*√(3 - 2√2*cos(β)). Частный случай, когда AC является диаметром, решается элементарно по тому же методу. В этом случае AEC - прямоугольный треугольник, а ABC - равнобедренный, то есть AC = BC = c√2, а радиус окружности очевидно равен AC/2 = c√2/2 = 5; откуда AB = c = 5√2; BC = AC = 10; из полученной в задаче формулы этот случай получается, если 2√2*cos(β) = 1; что легко проверить. То есть, когда cos(β) = √2/4; и, соответственно, sin(β) = √14/4; Другой напрашивающийся частный случай - если угол ABC - прямой. В этом случае cos(β) = 0; sin(β) = 1; Треугольник получается подобным треугольнику со сторонами (1, √2, √3) при этом меньший катет равен c = 5√6/9; и так далее. Отдельный вопрос - про область определения. Так, например, очевидно, что если cos(β) < 0, то решение есть всегда. То есть для тупых углов ABC решение есть всегда. К счастью, 3/2√2 > 1 и 9/4√2 > 1, поэтому решение существует при любых значениях β между 0 и 180 градусами.
Пусть <ABK = <x <ACK = <x - так как опираются на ту же дугу окружности АК что и <ABK = <x <КВС = <x - так как ВО - биссектриса <КАС = <x - так как опираются на ту же дугу окружности КС что и <КВС = <x <КАО = <КАС=<x так как BP = PC и BO - биссектриса, то РСВ - равнобедренный, значит ВО - серединный перпендикуляр значит РСК - равнобедренный и РСО - равнобедренный, значит <КРО = <КСО так как <КСО =<АСК = <x значит <КРО = <x
и наконец так как в 4-угольнике АКОР <КАО = <x и <КРО = <x, значит точки А и Р лежат на некой кривой, из которой отрезок КО виден под одинаковым углом геометрическим местом точек, из которых данный отрезок КО виден под одним и тем же углом является дуга окружности, проходящей через концы отрезка КО доказано, что точки АКОР лежат на одной окружности
Вокруг четырехугольника AEKC можно описать окружность.
Поэтому сумма углов EKC и BAC равна 180°, что означает, что угол EKB = угол BAC, то есть треугольники ABC и BEK подобны (у них все углы равны).
Из этого подобия следует BK/BA = BE/BC, или, если положить
AB = c, AC = b, BC = a, то (a/4)/c = (c/2)/a; a = c√2;
коэффициент подобия треугольников ABC и BEK равен √2/4;
это легко получается из условия.
Далее, пусть угол ABC = β; и еще надо обозначить CE = m; (это медиана треугольника ABC к стороне AB).
Из условия известно, что радиус окружности, описанной вокруг треугольника AEC, равен 5.
Кроме того, известно, что площадь ACE равна половине площади ABC, поскольку CE - медиана.
Как уже было найдено, если AB = c, то AE = c/2; BC = c√2;
откуда
Sabc = BA*BC*sin(β)/2 = (c^2)*√2*sin(β)/2;
Seac = Sabc/2 = (c^2)*√2*sin(β)/4;
По теореме косинусов для треугольника ABC
(AC)^2 = b^2 = c^2 + (c√2)^2 - 2*c*(c√2)*cos(β) = (c^2)*(3 - 2√2*cos(β));
по теореме косинусов для треугольника EBC
(EC)^2 = m^2 = (c/2)^2 + (c√2)^2 - 2*(c/2)*(c√2)*cos(β) = (c^2)*(9/4 - √2*cos(β)); Далее, используя известную формулу (R = abc/4S) для радиуса описанной окружности для треугольника AEC, легко получить
5 = AE*AC*EC/(4*Saec) =
(c/2)*(c√(3 - 2√2*cos(β)))*(c√(9/4 - √2*cos(β))/((c^2)*√2*sin(β));
или
5 = с*(√(3 - 2√2*cos(β)))*(√(9/4 - √2*cos(β))/(2√2*sin(β));
Никаких дополнительных условий в задаче нет, то есть угол ABC = β; может принимать любые значения из области определения полученной функции.
Кроме того, подобие треугольников ABC и KBE при любом значении β ВСЁ РАВНО означает, что вокруг четырехугольника AEKC можно описать окружность Правда, радиус этой окружности зависит от угла ABC = β. Но из последнего соотношения видно, что этот радиус пропорционален стороне AB = c. Что означает, что из условия задачи И НЕЛЬЗЯ определить, чему равен β.
Поэтому из этого соотношения следует два вывода
1) условие задачи СКОРЕЕ ВСЕГО не полное, точнее - в задаче есть неопределенный параметр.
2) последнее соотношение фактически и есть решение поставленной задачи, определяющее величину стороны AB = с, и всех остальных сторон, само собой, как функцию неопределенного параметра β. Напомню, что
BC = с*√2, а AC = c*√(3 - 2√2*cos(β)).
Частный случай, когда AC является диаметром, решается элементарно по тому же методу.
В этом случае AEC - прямоугольный треугольник, а ABC - равнобедренный, то есть AC = BC = c√2, а радиус окружности очевидно равен AC/2 = c√2/2 = 5; откуда AB = c = 5√2; BC = AC = 10;
из полученной в задаче формулы этот случай получается, если 2√2*cos(β) = 1; что легко проверить. То есть, когда cos(β) = √2/4; и, соответственно, sin(β) = √14/4;
Другой напрашивающийся частный случай - если угол ABC - прямой. В этом случае cos(β) = 0; sin(β) = 1;
Треугольник получается подобным треугольнику со сторонами (1, √2, √3) при этом меньший катет равен c = 5√6/9; и так далее.
Отдельный вопрос - про область определения.
Так, например, очевидно, что если cos(β) < 0, то решение есть всегда. То есть для тупых углов ABC решение есть всегда. К счастью, 3/2√2 > 1 и 9/4√2 > 1, поэтому решение существует при любых значениях β между 0 и 180 градусами.
<ACK = <x - так как опираются на ту же дугу окружности АК что и <ABK = <x
<КВС = <x - так как ВО - биссектриса
<КАС = <x - так как опираются на ту же дугу окружности КС что и <КВС = <x
<КАО = <КАС=<x
так как BP = PC и BO - биссектриса, то РСВ - равнобедренный,
значит ВО - серединный перпендикуляр
значит РСК - равнобедренный и РСО - равнобедренный,
значит <КРО = <КСО
так как <КСО =<АСК = <x
значит <КРО = <x
и наконец
так как в 4-угольнике АКОР
<КАО = <x и <КРО = <x, значит точки А и Р лежат на некой кривой, из которой отрезок КО виден под одинаковым углом
геометрическим местом точек, из которых данный отрезок КО виден под одним и тем же углом является дуга окружности, проходящей через концы отрезка КО
доказано, что точки АКОР лежат на одной окружности