Проведём сечение пирамиды через ось и боковое ребро SC. Середина ребра SC это точка Е. Пересечение перпендикуляра к этому ребру через точку Е с основанием это точка К, находящаяся на высоте основания СД. Получим прямоугольный треугольник ЕКС, в котором известна сторона ЕС = (1/2) SC = (1/2)*10 = 5. В другом треугольнике SOC сторона ОС равна (2/3) высоты основания. Для правильного треугольника АВС этот отрезок равен (2/3)*12*cos30 = (2/3)*12*(√3/2) = 4√3. Косинус угла С равен ОС/SC = 4√3/10 = 2√3/5.
Теперь можно определить гипотенузу СК в треугольнике ЕКС:
CК = ЕС/cosC = 5/(2√3/5) = 25/(2√3).
Так как СК лежит в плоскости основания на его высоте СД, то равные отрезки СР и СМ равны:
СР = СМ = СК / cos 30 = 25/(2√3) / (√3/2) = 25/3 = 8(1/3).
В плоскости боковой грани ASC линией пересечения её с заданной секущей плоскостью будет отрезок ЕМ. Аналогично в плоскости грани ВSC это линия ЕР.
Длину этих равных отрезков (они являются боковыми сторонами в треугольнике РЕМ, который и есть фигурой пересечения пирамиды с заданной плоскостью), находим по теореме косинусов по двум сторонам СЕ и СМ и косинусу угла между ними.
Косинус угла α при основании боковой грани равен 6/10 = 3/5.
Тогда ЕМ = ЕР = √(ЕС² + СМ² - 2*ЕС*СМ*cos α) =
√(5² + (25/3)² - 2*5*(25/3)*(3/5)) =
= √((25*9 + (625/9) - 9*50)/9) = √400 / 3 = 20/3.
Отрезок РМ находим из пропорции подобных треугольников САВ и СРМ:
РМ = СМ = 25/3 = 8(1/3).
ответ: Периметр треугольника, образованного сечением пирамиды плоскостью, перпендикулярной ребру SC в его середине, равен:
Tg C = √3 / √6 = √(3/6) = 1 / √2. Через этот тангенс находим синус С = tg C / (+-√(1+tg²C)) = 1 /(√2*(1+(1/2))) = 1 / √3. Высота в прямоугольном треугольнике АВС равна ha = √6*sin C = = √6*(1 / √3) = √2. Расстояние от точки S до ВС - это гипотенуза треугольника, где один катет SA = 2 см, а второй - высота ha = √2. Отсюда искомое расстояние от точки S до ВС = √(2²+(√2)²) = √6 = = 2,44949 см. Высоту ha можно было найти по другой формуле: ha =2√(p(p-a)(p-b)(p-c)) / a. Для этого надо найти диагональ А = √((√3)²+(√6)²) = √9 = 3 см. А рисунок к этой задаче очень прост - сначала вычертить план треугольника и высоту к гипотенузе, а затем вертикальную плоскость с отрезком SA и высотой ha.
Проведём сечение пирамиды через ось и боковое ребро SC.
Середина ребра SC это точка Е. Пересечение перпендикуляра к этому ребру через точку Е с основанием это точка К, находящаяся на высоте основания СД. Получим прямоугольный треугольник ЕКС, в котором известна сторона ЕС = (1/2) SC = (1/2)*10 = 5.
В другом треугольнике SOC сторона ОС равна (2/3) высоты основания. Для правильного треугольника АВС этот отрезок равен (2/3)*12*cos30 = (2/3)*12*(√3/2) = 4√3.
Косинус угла С равен ОС/SC = 4√3/10 = 2√3/5.
Теперь можно определить гипотенузу СК в треугольнике ЕКС:
CК = ЕС/cosC = 5/(2√3/5) = 25/(2√3).
Так как СК лежит в плоскости основания на его высоте СД, то равные отрезки СР и СМ равны:
СР = СМ = СК / cos 30 = 25/(2√3) / (√3/2) = 25/3 = 8(1/3).
В плоскости боковой грани ASC линией пересечения её с заданной секущей плоскостью будет отрезок ЕМ. Аналогично в плоскости грани ВSC это линия ЕР.
Длину этих равных отрезков (они являются боковыми сторонами в треугольнике РЕМ, который и есть фигурой пересечения пирамиды с заданной плоскостью), находим по теореме косинусов по двум сторонам СЕ и СМ и косинусу угла между ними.
Косинус угла α при основании боковой грани равен 6/10 = 3/5.
Тогда ЕМ = ЕР = √(ЕС² + СМ² - 2*ЕС*СМ*cos α) =
√(5² + (25/3)² - 2*5*(25/3)*(3/5)) =
= √((25*9 + (625/9) - 9*50)/9) = √400 / 3 = 20/3.
Отрезок РМ находим из пропорции подобных треугольников САВ и СРМ:
РМ = СМ = 25/3 = 8(1/3).
ответ: Периметр треугольника, образованного сечением пирамиды плоскостью, перпендикулярной ребру SC в его середине, равен:
Р = (25/3) + 2*(20/3) = (25 + 40) / 3 = 65/3 = 21(2/3).