Изобразите плоскость и прямую AB, которая пересекает эту плоскость. Постройте угол между прямой AB и плоскостью a

А1  Если точка лежит в плоскости YOZ, то  x=0;

ответ: а) A(0; 1; 1).

A2 Координаты середины отрезка равны полусумме координат концов отрезка:

x(М) = (x(A) + x(В))/2;  ⇒ x(B)=2· x(M) - x(A);

x(B) = 2 · (- 2) - 1 = - 5

y(B) = 2 · 4 - 3 = 5

z(B) = 2 · 5 - (- 2) = 12

ответ: a) B(- 5; 5; 12).

A3  B(6; 3; 6)  C(- 2; 5; 2)

Если АМ медиана, то M - середина ВС.

x(M) = (6 - 2)/2 = 2;  y(M) = (3 + 5)/2 = 4;  z(M) = (6 + 2)/2 = 4

M(2; 4; 4);   A(1; 2; 3)

AM² = (2 - 1)² + (4 - 2)² + (4 - 3)² = 1 + 4 + 1 = 6;

AM = √6

ответ: а) √6

А4 Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

↑a · ↑b =  1 · (- 1) + (- 1) · 1 + 2 · 1 = - 1 - 1 + 2 = 0

ответ: б) 0.

А5 При симметрии относительно оси Ох меняют знак координаты у и z:

А(0; 1; 2) → A₁ (0; - 1; - 2),

B(3; - 1; 4) → B₁ (3; 1; - 4),

C(- 1; 0; - 2) → C₁ (- 1; 0; 2).

B1 Неполное условие. Должно быть так:

Диагональ осевого сечения цилиндра равна √81 см, а радиус основания – 3 см. Найти высоту цилиндра.

Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, одна сторона которого (АВ) равна диаметру основания, а другая - образующая (она же высота).

Из прямоугольного треугольника АВВ₁ по теореме Пифагора:

ВВ₁ = √(АВ₁² - АВ²) = √(81 - 36) = √45 = 3√5 см

ответ: 3√5 см

B2 ΔSOA прямоугольный,

R = OA = SA · cos30° = 8 · cos30° = 8 √3/2 = 4√3 см

h = SO = SA · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см

Sasb = 1/2 AB · SO = 1/2 · 2R · h = R · h = 4√3 · 4 = 16√3 см²

С1 Если призма вписана в шар, то ее основания вписаны в равные круги - параллельные сечения шара, а центр шара - точка О - лежит  на середине отрезка КК₁, соединяющего центры этих кругов.

Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению. ОК перпендикулярен плоскости АВС. Тогда  КК₁ - высота призмы.

ОА - радиус шара, ОА = 4 см,

КА - радиус сечения, или радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС (призма правильная), тогда

КА = а√3/3, где а - ребро осноавния,

КА = 6√3/3 = 2√3 см

Из прямоугольного треугольника АОК по теореме Пифагора:

ОК = √(ОА² - КА²) = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2 см

КК₁ = 2ОК = 4 см

ответ: 4 см

18,09

Объяснение:

1) АВ = 1 + 2 + 3 = 6

ВС = 3 + 1 + 2 = 6

СD = 2 + 3 + 1 = 6

AD = 1 + 4 + 1 = 6

Так как все стороны четырёхугольника равны, то данная фигура является ромбом.

2) Находим площадь ромба:

S = DC · BC · sin 60° = 6 · 6 · √3/2 = 18√3

3) Чтобы найти площадь заштрихованной фигуры, необходимо от площади ромба отнять площади 4-х не заштрихованных фигур.

А для этого надо знать все углы ромба.

∠А = ∠С = 60° - так как противоположные углы ромба равны;

∠D = ∠B = 180° - 60° = 120° - так как сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°.

4) Площадь сегмента при вершине А равна:

π · 1² · (60°/360°) = π/6.

5) Площадь сегмента при вершине В равна:

π · 3² · (120°/360°) = 9π/3 = 3π.

6) Площадь сегмента при вершине С равна:

π · 2² · (60°/360°) = 4π/6 = 2π/3.

7) Площадь сегмента при вершине D равна:

π · 1² · (120°/360°) = π/3.

8) Сумма площадей вычитаемых сегментов равна:

π/6 + 3π + 2π/3 + π/3 =  (4 1/6)π

9) Площадь заштрихованной фигуры:

18√3 - (4 1/6)π = 18 (√3 - 25π/108)  ≈ 18 · (1,732 - 25/6 · 3,14) ≈ 18,093 ≈ 18,09

ответ: 18 (√3 - 25π/108) ≈ 18,09