Известно, что при некоторой центральной симметрии точка А
переходит в точку С, а В - в D
(центр симметрии не принадлежит
АВ). Назовите верные
высказывания:
А: Длина отрезка AD
равна длине отрезка BC.
В: Фигура,
составленная из отрезков AB, BC,
CD и AD, является
параллелограммом.
С: Величина
угла ABC равна величине угла CBD.
D: Длина отрезка АВ равна длине
CD.
Решение:
Рассмотрим треугольник AC₁C (см. приложение): угол С₁СА - прямой, а угол С₁АС = 45° по условию. Значит, угол AC₁C = 45° и АС = СС₁ = 10 см.
Рассмотрим треугольник ACD: угол ADC - прямой, АС =10 см, а АD = 8 см, значит, СD = см.
Объем параллелепипеда равен произведению трех его измерений (AD, DC, CC₁): 8*6*10 = 480 см³.
ответ: 480 см³
Пусть АМ=3х, МВ=х, АД=ВС=4, АВ=СД=АМ+МВ=4х
Из прямоугольного ΔМВС:
МС=√(ВС²+МВ²)=√(16+х²)
Подставляем:
3х+4х=4+√(16+х²)
(7х-4)²=16+х²
49х²-56х+16=16+х²
48х²-56х=0
х₁=0 (не подходит)
х₂=7/6
Значит АМ=7/2, МВ=7/6, АВ=СД=14/3, МС=√(16+49/36)=25/6
Площадь Sмвс=МВ*ВС/2=7/6*4/2=7/3
Площадь Sавсд=АВ*ВС=14/3*4=56/3
Площадь Sамсд=Sавсд-Sмвс=56/3-7/3=49/3
Полупериметр АМСД р=(АМ+МС+СД+АД)/2=(7/2+25/6+14/3+4)/2=49/6
Радиус вписанной окружности R=Sамсд/p=49/3 / 49/6=2
Опустим перпендикуляр из центра окружности О на сторонй АМ: ОК=2.
Рассмотрим прямоугольный ΔОКВ: КВ=АВ-2=14/3-2=8/3
ОВ²=КВ²+ОК²=64/9+4=100/9
ОВ=10/3