Известно, что треугольники подобны, и их периметры относятся как 10/11. Как относятся их площади?Длина отрезка KL равна 120. На отрезке отложена точка M. Вычисли длины частей отрезка, если KM:ML= 2 : 1.

В данном треугольнике углы при МР равны, и потому треугольник - равнобедренный с равными МК+КР.

Биссектриса к МК делит эту сторону пополам, значит, она является и медианой. В таком случае МР=КР
Но по условию и КР=МК.
Если КР=МК=МР, то треугольник - равносторонний и все углы в нем равны 60°
Биссектриса в нем не только и медиана, но и высота.
Можно по формуле высоты ( можно и по теореме Пифагора), определить сторону.
Можно и  через синус 60°
МР=9,6:sin(60°)
МР=9,6: √3/2
МР=9,6·2:√3=19,2·√3:√3·√3=19,2·√3:3=6,4·√3
ответ:6,4·√3

1)

HK перпендикулярна DM

ΔКНМ - прямоугольный,  угол <DMH= 60 градусов

НМ =НК / sin<DMH=√3/√3/2=2

DH- высота

ΔDНМ - прямоугольный,  угол <DMH= 60 градусов

DH=HM*tg<DMH=2*tg60=2√3  <ВЫСОТА

DABC - правильная пирамида

основание - правильный треугольник  ΔАВС -все стороны равны- все углы 60 град

BM -  медиана треугольника ABC

HM=1/3*BM ;

BM=3*HM=3*2=6

стороны треугольника ABC  АВ=ВС=СА=ВМ/sin60=6/(√3/2)=12 / √3

площадь основания So=1/2*BM*AC=1/2*6*12/√3=36/√3

V (DABC) = 1/3*DH*So=1/3*2√3 *36/√3=24

ОТВЕТ 24

2)

 ABCDA1B1C1D1 - правильная призма <четырехугольная

в основании правильный многоугольник -  квадрат

АС, BD - диагонали  =M   т.М  -точка пересечения

< С1МС=45  ;  <C1CM=90

треугольник  ΔС1МС - прямоугольный , равнобедренный

CM=CC1 =СH/sin<C1MC=4√2 / sin45 = 8

CC1=h=8 -высота призмы

СМ=8 - половина диагонали основания

диагональ основания d=АС=BD=2*СМ=16

сторона основания b=d/√2 = 16/√2

площадь основания  So=b^2 = (16/√2)^2=128

V (ABCDA1B1C1D1) = h*So = 8*128=1024

ОТВЕТ V=1024

3)

 MABCD - правильная четырехугольная пирамида

 боковое ребро пирамиды a=AM=BM=CM=DM=8

высота  h=MH=AM*sinMAH=8*√3/2=4√3

в основании  квадрат со стороной   b

диагонали квадрата  AC=BD=d

половина диагонали квадрата  d/2 =AM*cosMAH=8*1/2=4  ;

тогда d= 8

сторона квадрата/основания  b=d/√2 = 8/√2

площадь основания So=b^2=(8/√2)^2=32

объем V(MABCD) =  1/3*h*So=1/3*4√3*32=128√3 /3

апофема боковой грани 

H^2 = a^2-(b/2)^2 =8^2 -(8/√2 /2)^2=56

H=2√14

Площадь ОДНОЙ боковой грани  S1=1/2*H*b=1/2*2√14*8/√2=8√7

Sбок =4*S1 =4*8√7=32√7

боковые грани  (AMD) и (DMC)- это РАВНЫЕ равнобедренные треугольники

опустим высоты CK, AK  из вершин MCD,MAD -соответственно

линейный угол <CKA -  это угол между (AMD) и (DMC)

в равных треугольниках  соответствующие высоты равны  CK = AK 

площадь боковой грани  (AMD)  S1=1/2*AK*MD  ; MD=AM=8

тогда  AK= 2*S1/MD = 2*8√7 /8=2√7

т.к. CK = AK =2√7

треугольник  АКС - равнобедренный

по теореме косинусов

АС^2 = AK^2+CK^2 - 2AK*CK*cos<CKA

cos<CKA = [ АС^2 - (AK^2+CK^2) ] / [- 2AK*CK] <подставим значения

cos<CKA = ( 8^2 - ((2√7)^2+(2√7)^2) ) / ((- 2)*2√7*2√7) =-1/7

<CKA = arccos (-1/7)= 1.714 рад =98.2 град =98 град

угол между (AMD) и (DMC)  =98 град