К данному рисунку известно следующее:
DB = BC;
DB | MC:
X BCM — 124.
Рассчитай величину 41.
това
21-​

Сначала - вс задачка. Есть равнобедренный треугольник, заданы высота h и основание a, надо найти радиус описанной окружности. 

Самый простой (с точки зрения работы мозга, а не с точки зрения тупого применения формул рассматривать высоту треугольника, как высоту кругового сегмента, отсекаемого хордой длины а. Расстояние до хорды тогда R - h, и мы имеем соотношение (R - h)^2 + (a/2)^2 = R^2; откуда R = (h^2 + (a/2)^2)/(2*h);

При а = h; R = h*(1/2 + 1/8) = 5*h/8; (полезно запомнить); при h = 8; R = 5.

Теперь - собственно решение задачи.

Поскольку А равноудалена от вершин треугольника, её проекция на основание - это центр описанной окружности, а проекция наклонной из точки А равна R = 5;

Поэтому расстояние от А до вершины (любой) равно корень(5^2 + 12^2) = 13;

AC = 2√3;  AB=√7;  BC=1; ΔKAC~ΔABC;  ∠KAC > 90°

 ΔKAC~ΔABC;  ∠KAC > 90°  ⇒ против тупого угла в ΔKAC лежит самая большая сторона CK, а в подобном ему ΔABC самая большая сторона AC=2√3  ⇒  ∠ABC = ∠ KAC > 90°
∠KCA не может быть равен ∠ACB по построению  ⇒
∠KCA = ∠BAC;  ∠AKC = ∠ACB  ⇒
cos∠AKC = cos∠ACB

Теорема косинусов для ΔABC
AB² = AC² + CB² - 2AC*CB*cos∠ACB
√7² = (2√3)² + 1² - 2*2√3*1*cos∠ACB
7 = 13 - 4√3*cos∠ACB
4√3*cos∠ACB = 6
cos∠ACB = 6/(4√3)
cos∠ACB = √3/2   - табличный косинус  ∠ACB=30°

ответ:   cos∠AKC = √3/2;  ∠AKC = 30°