I. 1). В треугольнике ABC рассмотрим треугольник ABE. В треугольнике ABE по условию AD=DE, т.е. т. D - середина стороны AE⇒отрезок BD в треугольнике ABE является его медианой. По свойству медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники - треугольники с равной площадью). Т.е. имея медиану BD, получаем, что S(ABD)=S(EBD).
2). Аналогично в треугольнике ABC рассмотрим треугольник CBD. В треугольнике CBD по условию DE=EC, т.е. т. E - середина стороны DC⇒отрезок BE в треугольнике CBD является его медианой. По свойству медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Т.е. имея медиану BE, получаем, что S(CBE)=S(EBD).
3) Объединив первый и второй пункты, получаем:
S(ABD)=S(EBD);
S(CBE)=S(EBD);
Отсюда следует, что S(EBD)=S(ABD)=S(CBE), что и требовалось доказать.
II. Т.к. S(ABC)=S(ABD)+S(EBD)+S(CBE), а эти три площади равны (мы доказали это в предыдущей части задачи), то S(ABC)=3*S(ABD)⇒S(ABD)=1/3*S(ABC);
S(ABE)=S(ABD)+S(EBD)=2*S(ABD) (т.к. площади равны);
Если S(ABC)=27, то S(ABD)=27/3=9, а S(ABE)=2*9=18 см²;
Если S(ABC)=21, то S(ABD)=21/3=7, а S(ABE)=2*7=14 см²;
ответ:1.
Пусть ∠1=х°, тогда ∠2=(42+х)°, что в сумме составляет 180° по определению смежных углов. Составим уравнение:
х+42+х=180; 2х=138; х=69.
∠1=∠3=69°; ∠2=∠4=69+42=111°.
2. Дано: ∠ВМК и ∠АМК - смежные, МС - биссектриса ∠АМК. Найти ∠СМК и ∠СМВ.
Пусть ∠ВМК=х°, тогда ∠АМК=5х°, что в сумме составляет 180°.
х+5х=180; 6х=180; х=30.
∠ВМК=30°, ∠АМК=30*5=150°
∠СМК=1/2 ∠АМК = 150:2=75°
∠СМВ=∠СМК+∠ВМК=75+30=105°
3. Дано: АВ и СD - прямые, ∠СОК=118°, ОК - биссектриса ∠АОD. Найти ∠ВОD.
∠КОD и ∠СОК - смежные, значит, их сумма составляет 180°.
∠КОD = 180-118=62°
∠АОК=∠КОD=62° (по определению биссектрисы)
∠АОК+∠КОD=62+62=124°
∠ВОD=180-124=56°
Объяснение:
I. 1). В треугольнике ABC рассмотрим треугольник ABE. В треугольнике ABE по условию AD=DE, т.е. т. D - середина стороны AE⇒отрезок BD в треугольнике ABE является его медианой. По свойству медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники - треугольники с равной площадью). Т.е. имея медиану BD, получаем, что S(ABD)=S(EBD).
2). Аналогично в треугольнике ABC рассмотрим треугольник CBD. В треугольнике CBD по условию DE=EC, т.е. т. E - середина стороны DC⇒отрезок BE в треугольнике CBD является его медианой. По свойству медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Т.е. имея медиану BE, получаем, что S(CBE)=S(EBD).
3) Объединив первый и второй пункты, получаем:
S(ABD)=S(EBD);
S(CBE)=S(EBD);
Отсюда следует, что S(EBD)=S(ABD)=S(CBE), что и требовалось доказать.
II. Т.к. S(ABC)=S(ABD)+S(EBD)+S(CBE), а эти три площади равны (мы доказали это в предыдущей части задачи), то S(ABC)=3*S(ABD)⇒S(ABD)=1/3*S(ABC);
S(ABE)=S(ABD)+S(EBD)=2*S(ABD) (т.к. площади равны);
Если S(ABC)=27, то S(ABD)=27/3=9, а S(ABE)=2*9=18 см²;
Если S(ABC)=21, то S(ABD)=21/3=7, а S(ABE)=2*7=14 см²;
ответ: 1). Доказано; 2). а). S(ABE)=18 см², б). S(ABE)=14см².