Пусть данный прямоугольник АВСD, его диагонали пересекаются в точке О.
1. По свойству диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, тогда
АО = ОВ = ОС = OD, треугольник АОВ равнобедренный.
2. По условию величина угла АОВ равна 40°, тогда по теореме о сумме углов треугольника два другие угла ОАВ и ОВА в сумме дают 180° - 40° = 140°.
3. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то каждый из них по 140° : 2 = 70°.
4. В соседнем равнобедренном треугольнике ВОС градусная мера угла СВО равна 90° - <АВО = 90° - 70° = 20°. Такой же будет и величина угла ВСО (углы при основании равнобедренного треугольника равны).
5. Рассматривая треугольник АОD, равный треугольнику ВОС (по трём сторонам), и треугольник СОD, равный треугольнику АОВ, получим, что диагональ прямоугольника образует с его сторонами углы, равные 70° и 20°.
(х – а)² + (у – b)² = R² – уравнение окружности, записанное в общем виде, где (а; b) – координаты центра окружности; R – радиус окружности. Из условия задачи известно, что уравнение окружности проходит через точку 8 на оси Ox, то есть через точку с координатами (8; 0), и через точку 4 на оси Oy, то есть через точку с координатами (0; 4). При этом центр находится на оси Oy, значит, точка (0; b) является центром окружности. Подставляя поочередно координаты этих точек в уравнение, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
20° и 70°.
Объяснение:
Пусть данный прямоугольник АВСD, его диагонали пересекаются в точке О.
1. По свойству диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, тогда
АО = ОВ = ОС = OD, треугольник АОВ равнобедренный.
2. По условию величина угла АОВ равна 40°, тогда по теореме о сумме углов треугольника два другие угла ОАВ и ОВА в сумме дают 180° - 40° = 140°.
3. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то каждый из них по 140° : 2 = 70°.
4. В соседнем равнобедренном треугольнике ВОС градусная мера угла СВО равна 90° - <АВО = 90° - 70° = 20°. Такой же будет и величина угла ВСО (углы при основании равнобедренного треугольника равны).
5. Рассматривая треугольник АОD, равный треугольнику ВОС (по трём сторонам), и треугольник СОD, равный треугольнику АОВ, получим, что диагональ прямоугольника образует с его сторонами углы, равные 70° и 20°.
(х – а)² + (у – b)² = R² – уравнение окружности, записанное в общем виде, где (а; b) – координаты центра окружности; R – радиус окружности. Из условия задачи известно, что уравнение окружности проходит через точку 8 на оси Ox, то есть через точку с координатами (8; 0), и через точку 4 на оси Oy, то есть через точку с координатами (0; 4). При этом центр находится на оси Oy, значит, точка (0; b) является центром окружности. Подставляя поочередно координаты этих точек в уравнение, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
(8 – 0)² + (0 – b)² = R² и (0 – 0)² + (4 – b)² = R²;
(8 – 0)² + (0 – b)² = (0 – 0)² + (4 – b)²;
8² + b² = (4 – b)²;
b² – 8 ∙ b + 4² – 8² – b² = 0;
8 ∙ b = – 48;
b = – 6, тогда, R = 10, и уравнение окружности примет вид:
х² + (у + 6)² = 10².
ответ: х² + (у + 6)² = 10² – уравнение данной окружности.