А вот это ничего задачка :) жаль, что в праздники. Прежде, чем начать, я выражаю благодарность Hrisula за предоставленный отличный рисунок к задаче. 1) Сразу надо понять, что AB II MN. Причем - еще до того, как используется, что MN - касательная к окружности (ABK) (я буду обозначать окружности в тексте тремя точками в скобках). В самом деле, в точке K у окружностей есть общая касательная. Пусть это прямая KP, где Р - точка пересечения касательных MN и KP (то есть P лежит на продолжении MN) ∠NKP = ∠NMK; (оба измеряются половиной дуги KN окружности (MNK)) ∠BAK = ∠BKP; ( оба измеряются половиной дуги BK окружности (ABK)); то есть ∠NMK = ∠BAK; что означает AB II MN. 2) Из этого следует подобие треугольников ABK и MNK. Но поскольку радиус описанной окружности у треугольника ABK в 2 раза меньше, то и стороны в 2 раза меньше, что означает, что AB - средняя линия треугольника MNK. Но это еще не всё :) - это еще и означает, что CK делится прямой AB пополам, то есть CL = LK; (Любой, кто знаком с гомотетией, эти два пункта может доказать моментально - тут просто гомотетия с центром в точке K и коэффициентом 2. Отсюда и параллельность, и средняя линия.) 3) Теперь самое время вспомнить, что MN - касательная. Обе касательные СP и KP к окружности (ABK) образуют одинаковые углы с хордой CK. То есть ∠NCK = ∠PKC; но ∠PKC = ∠NKP + ∠NKC; ∠PCK = ∠NMK +∠CKM; если еще раз вспомнить, что ∠NKP = ∠NMK; то ∠NKC = ∠CKM; получилось, что CK = биссектриса угла AKB; это означает, что AK/BK = AL/BL = 3/2; (разумеется, в подобном треугольнику ABK треугольнике MNK тоже такое же соотношение сторон) 4) Теперь надо "сложить" полученные условия для вписанного четырехугольника ACBK - что AL/BL = 3/2 = AK/BK; и CL = KL. Также AC = CВ, но это не понадобится (хотя в принципе и это можно было бы использовать). Главная задача - найти угол AKB. Полученных связей должно хватить. Для краткости и понятности формул я теперь обозначу γ = ∠AKB; a = BK; b = AK; l = KL = CL; Пара треугольников KLB и AKC; имеет равные углы, так как KL - биссектриса угла AKB; и ∠ABK = ∠ACK; так как это вписанные углы, опирающиеся на дугу AK; Поэтому KL/KB = KA/CK; или 2*l^2 = ab; Учитывая, что b = a*3/2; получается l = a*√3/2; (синус 60° тут возник случайно). Если записать площадь треугольника ABK, как ab*sin(γ)/2 = al*sin(γ/2)/2 + bl*sin(γ/2)/2; то l = 2ab*cos(γ/2)/(a + b); или, если подставить ранее найденные соотношения b = a*3/2; l = a*√3/2 a*√3/2 = 2a*(3a/2)*cos(γ/2)/(a + 3*a/2); после сокращений получается значение косинуса половины угла AKB, откуда можно найти синус всего угла. cos(γ/2) = 5√3/12; sin(γ/2) = √69/12; sin(γ) = 5√23/24; (угол получился близким к прямому, но все-таки меньше :) примерно 87,6°) 5) Теперь, когда известен синус угла MKN; остается только применить теорему синусов. Радиус окружности (MKN) равен 2√23; поэтому MN = 2*(2√23)*(5√23/24) = 5*23/6 = 115/6 = 19,1(6); ну вот как-то так. Проверяйте... (Между прочим, диаметр большей окружности 4√23 примерно равен 19,1833261)
Мой любимый 4-угольник - дельтоид. классический воздушный змей имеет форму дельтоида. это так здорово - запускать змея. особенно. если сделал его сам. Дельтоид. Дельтоид — четырёхугольник, обладающий двумя парами сторон одинаковой длины. В отличие от параллелограмма, равными являются не противоположные, а две пары смежных сторон. Дельтоид имеет форму, похожую на воздушного змея. дельтоид выпуклый
дельтоид невыпуклый Свойства Углы между сторонами неравной длины равны. Диагонали дельтоида (или их продолжения) пересекаются под прямым углом. В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность, кроме этого, если дельтоид не является ромбом, то существует ещё одна окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон. Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух бо́льших сторон и продолжений двух меньших сторон и окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух больших сторон.
Частные случаи Если угол между неравными сторонами дельтоида прямой, то в него можно вписать окружность (описанный дельтоид) . Если пара противоположных сторон дельтоида равны, то такой дельтоид является ромбом. Если пара противоположных сторон и обе диагонали дельтоида равны, то дельтоид является квадратом. Квадратом является и вписанный дельтоид с равными диагоналями.
Прежде, чем начать, я выражаю благодарность Hrisula за предоставленный отличный рисунок к задаче.
1) Сразу надо понять, что AB II MN. Причем - еще до того, как используется, что MN - касательная к окружности (ABK) (я буду обозначать окружности в тексте тремя точками в скобках).
В самом деле, в точке K у окружностей есть общая касательная. Пусть это прямая KP, где Р - точка пересечения касательных MN и KP (то есть P лежит на продолжении MN)
∠NKP = ∠NMK; (оба измеряются половиной дуги KN окружности (MNK))
∠BAK = ∠BKP; ( оба измеряются половиной дуги BK окружности (ABK));
то есть ∠NMK = ∠BAK; что означает AB II MN.
2) Из этого следует подобие треугольников ABK и MNK. Но поскольку радиус описанной окружности у треугольника ABK в 2 раза меньше, то и стороны в 2 раза меньше, что означает, что AB - средняя линия треугольника MNK. Но это еще не всё :) - это еще и означает, что CK делится прямой AB пополам, то есть CL = LK;
(Любой, кто знаком с гомотетией, эти два пункта может доказать моментально - тут просто гомотетия с центром в точке K и коэффициентом 2. Отсюда и параллельность, и средняя линия.)
3) Теперь самое время вспомнить, что MN - касательная.
Обе касательные СP и KP к окружности (ABK) образуют одинаковые углы с хордой CK.
То есть ∠NCK = ∠PKC;
но ∠PKC = ∠NKP + ∠NKC;
∠PCK = ∠NMK +∠CKM;
если еще раз вспомнить, что ∠NKP = ∠NMK;
то ∠NKC = ∠CKM;
получилось, что CK = биссектриса угла AKB;
это означает, что AK/BK = AL/BL = 3/2; (разумеется, в подобном треугольнику ABK треугольнике MNK тоже такое же соотношение сторон)
4) Теперь надо "сложить" полученные условия для вписанного четырехугольника ACBK - что AL/BL = 3/2 = AK/BK; и CL = KL. Также AC = CВ, но это не понадобится (хотя в принципе и это можно было бы использовать). Главная задача - найти угол AKB. Полученных связей должно хватить.
Для краткости и понятности формул я теперь обозначу
γ = ∠AKB; a = BK; b = AK; l = KL = CL;
Пара треугольников KLB и AKC; имеет равные углы, так как KL - биссектриса угла AKB; и ∠ABK = ∠ACK; так как это вписанные углы, опирающиеся на дугу AK;
Поэтому KL/KB = KA/CK;
или 2*l^2 = ab;
Учитывая, что b = a*3/2; получается l = a*√3/2; (синус 60° тут возник случайно).
Если записать площадь треугольника ABK, как
ab*sin(γ)/2 = al*sin(γ/2)/2 + bl*sin(γ/2)/2; то
l = 2ab*cos(γ/2)/(a + b);
или, если подставить ранее найденные соотношения b = a*3/2; l = a*√3/2
a*√3/2 = 2a*(3a/2)*cos(γ/2)/(a + 3*a/2);
после сокращений получается значение косинуса половины угла AKB, откуда можно найти синус всего угла.
cos(γ/2) = 5√3/12; sin(γ/2) = √69/12; sin(γ) = 5√23/24;
(угол получился близким к прямому, но все-таки меньше :) примерно 87,6°)
5) Теперь, когда известен синус угла MKN; остается только применить теорему синусов. Радиус окружности (MKN) равен 2√23; поэтому
MN = 2*(2√23)*(5√23/24) = 5*23/6 = 115/6 = 19,1(6);
ну вот как-то так. Проверяйте...
(Между прочим, диаметр большей окружности 4√23 примерно равен 19,1833261)
классический воздушный змей имеет форму дельтоида.
это так здорово - запускать змея.
особенно. если сделал его сам.
Дельтоид.
Дельтоид — четырёхугольник, обладающий двумя парами сторон одинаковой длины. В отличие от параллелограмма, равными являются не противоположные, а две пары смежных сторон. Дельтоид имеет форму, похожую на воздушного змея.
дельтоид выпуклый
дельтоид невыпуклый
Свойства
Углы между сторонами неравной длины равны.
Диагонали дельтоида (или их продолжения) пересекаются под прямым углом.
В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность, кроме этого, если дельтоид не является ромбом, то существует ещё одна окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон. Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух бо́льших сторон и продолжений двух меньших сторон и окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух больших сторон.
Частные случаи
Если угол между неравными сторонами дельтоида прямой, то в него можно вписать окружность (описанный дельтоид) .
Если пара противоположных сторон дельтоида равны, то такой дельтоид является ромбом.
Если пара противоположных сторон и обе диагонали дельтоида равны, то дельтоид является квадратом. Квадратом является и вписанный дельтоид с равными диагоналями.