Задача в одно действие. Основания трапеции AB и CD. Если продолжить AB за точку B, и DM за точку M, до их пересечения в точке D1, то очевидно DM = D1M; Тут можно кучу обоснований дать, например, равны треугольники AMD и BMD1 по КУЧЕ углов (это очевидно подобные треугольники, то есть у них все углы равны) и одной стороне BM = CM; На самом деле есть "более старшее"обоснование. параллельные прямые делят пропорционально ВСЕ секущие, а тут "неявно" присутствует еще одна параллельная - средняя линия, содержащая точку M. Вот после этого очевидно, что если также продолжить DC и AM до пересечения в точке A1, то A1M = AM; То есть получился параллелограмм AD1A1D; (диагонали делятся пополам точкой пересечения). В силу упомянутого равенства треугольников AMD и BMD1; упомянутая в задаче сумма площадей равна площади треугольника D1MA; Диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника, равных по площади, то есть упомянутая сумма равна также площади треугольника DMA, а это уже закрывает вопрос задачи.
Решить треугольник - это значит, найти все элементы треугольника(то есть, его три стороны и три угла)
Но у нас задача упрощена: нам надо найти два угла и одну сторону.
Чтобы найти сторону треугольника, мы запишем теорему косинусов:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosB
Где c - это сторона, которую мы ищем; a и b - две другие стороны треугольника. cosB - это косинус угла, лежащий напротив той стороны, которую мы ищем.
Подставим данные в формулу(кстати cos60 = )
c^2 = 25 + 21^2 - 2 * 5 * 21 * 0,5
Вычислив всю эту гадость, получаем:
c^2 = 361
И когда ученики находят значение с^2, они начинают прыгать от счастья и вносят в ответ число 361, что конечно же неверно, так как 361 - это КВАДРАТ той стороны, которую мы ищем. А чтобы найти саму сторону, нам надо извлечь квадратный корень из 361.
c =
Ну и нам остается найти два угла треугольника.
Как это сделать?
Для каждого треугольника справедлива такая херня, которая называется теоремой синусов.
Если говорить словами, а не арабскими иероглифами, то получается такая формулировка: стороны треугольника пропорциональны синусам углов, напротив которых эти стороны лежат.
Давай запишем теорему синусов для нашего треугольника:
Не забывай, что sin60 =
Исходя из свойств пропорции, мы можем выразить sinA =
Не бойся того, что мы получили в ответе такое страшное число: в этом нет ничего сверхъестественного.
Теперь, посмотрев в Интернете или посчитав на калькуляторе, мы получаем, что угол А равен 73 градусам.
Другой угол ищем проще:
Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.
Тогда угол С будет равен 180 - 73 - 60 = 47 градусов
Основания трапеции AB и CD. Если продолжить AB за точку B, и DM за точку M, до их пересечения в точке D1, то очевидно DM = D1M;
Тут можно кучу обоснований дать, например, равны треугольники AMD и BMD1 по КУЧЕ углов (это очевидно подобные треугольники, то есть у них все углы равны) и одной стороне BM = CM;
На самом деле есть "более старшее"обоснование. параллельные прямые делят пропорционально ВСЕ секущие, а тут "неявно" присутствует еще одна параллельная - средняя линия, содержащая точку M.
Вот после этого очевидно, что если также продолжить DC и AM до пересечения в точке A1, то A1M = AM;
То есть получился параллелограмм AD1A1D; (диагонали делятся пополам точкой пересечения). В силу упомянутого равенства треугольников AMD и BMD1; упомянутая в задаче сумма площадей равна площади треугольника D1MA;
Диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника, равных по площади, то есть упомянутая сумма равна также площади треугольника DMA, а это уже закрывает вопрос задачи.
Объяснение:
Итак, что вообще значит решить треугольник?
Решить треугольник - это значит, найти все элементы треугольника(то есть, его три стороны и три угла)
Но у нас задача упрощена: нам надо найти два угла и одну сторону.
Чтобы найти сторону треугольника, мы запишем теорему косинусов:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosB
Где c - это сторона, которую мы ищем; a и b - две другие стороны треугольника. cosB - это косинус угла, лежащий напротив той стороны, которую мы ищем.
Подставим данные в формулу(кстати cos60 =
)
c^2 = 25 + 21^2 - 2 * 5 * 21 * 0,5
Вычислив всю эту гадость, получаем:
c^2 = 361
И когда ученики находят значение с^2, они начинают прыгать от счастья и вносят в ответ число 361, что конечно же неверно, так как 361 - это КВАДРАТ той стороны, которую мы ищем. А чтобы найти саму сторону, нам надо извлечь квадратный корень из 361.
c =
Ну и нам остается найти два угла треугольника.
Как это сделать?
Для каждого треугольника справедлива такая херня, которая называется теоремой синусов.
Если говорить словами, а не арабскими иероглифами, то получается такая формулировка: стороны треугольника пропорциональны синусам углов, напротив которых эти стороны лежат.
Давай запишем теорему синусов для нашего треугольника:
Не забывай, что sin60 =
Исходя из свойств пропорции, мы можем выразить sinA =
Не бойся того, что мы получили в ответе такое страшное число: в этом нет ничего сверхъестественного.
Теперь, посмотрев в Интернете или посчитав на калькуляторе, мы получаем, что угол А равен 73 градусам.
Другой угол ищем проще:
Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.
Тогда угол С будет равен 180 - 73 - 60 = 47 градусов
Все. Задача решена.