класс Дано уравнение окружности x2+y2=400.
1. Найди ординату точек на этой окружности, абсцисса которых −12.
(Запиши обе координаты точек, в точке A — ординату со знаком «−», в точке B — со знаком «+»; если второй точки нет, вместо координат пиши координаты первой точки.)
A( ; );
B( ; ).
2. Найди абсциссу точек на этой окружности, ордината которых 20.
(Запиши обе координаты точек, в точке C — абсциссу со знаком «−», в точке D — со знаком «+»; если второй точки нет, вместо координат пиши координаты первой точки.)
C( ; );
D( ; ).
Даны координаты вершин треугольника АВС: A(4,-4), В (6;2), С(-1;8).
а) Длина стороны АВ = √((6-4)² + (2-(-4))²) = √(4 + 36) = √40.
Вектор АВ = (2; 6).
Уравнение стороны АВ.
АВ: (х - 4)/2 = (у +4)/6 это каноническое уравнение,
6х - 24 = 2у + 8
3х - у - 16 = 0 уравнение общего вида,
у = 3х - 16 уравнение с угловым коэффициентом, к = 3.
б) Уравнение высоты СН;
к(СН) = -1/к(АВ) = -1/3.
у(СН) = (-1/3)х + в. Для определения "в" подставим координаты точки С, принадлежащей этой прямой.
8 = (-1/3)*(-1) + в, в = 23/3, отсюда уравнение СН: у = (-1/3)х + (23/3).
Или в общем виде х + 3у - 23 = 0.
в) Уравнение медианы АМ.
Находим координаты точки М как середину стороны ВС .
М((6+(-1))/2; (2+8)/2) = (2,5; 5).
Вектор АМ: (2,5-4; 5-(-4) = (-1,5; 9).
Уравнение АМ: (х - 4) / (-1,5) = (у + 4) / 9
Знаменатели умножим на 2 и получим с целыми коэффициентами:
(х - 4) / (-3) = (у + 4) / 18
18х - 72 = -3у - 12
18х + 3у - 60 = 0 или, сократив на 3, АМ: 6х + у - 20 = 0.
у = -6х +20.
г) точку пересечения медианы АМ и высоты СH.
Составляем систему уравнений.
АМ: 6х + у - 20 = 0. |x(-3) = -18x - 3y + 60 = 0.
СН: х + 3у - 23 = 0. х + 3у - 23 = 0.
-17x + 37 = 0
x = 37/17 ≈ 2,17647.
y = 20 - 6x = 20 - (6*37/17) = 118 / 17 ≈ 6,94118.
д) уравнение прямой, проходящей через точку C параллельно стороне AB.
С (-1; 8), А(4;-4) B(6;2). Прямую обозначим СК. Угловой коэффициент к(СК) = к(АВ).
СК: у = 3х + в. Подставим координаты точки С.
8 = 3*(-1) + в, в = 8 + 3 = 11.
СК: у = 3х + 11.
e) Расстояние от точки С до прямой АВ. Это модуль высоты СН.
Находим координаты точки Н как точки пересечения СН и АВ.
СН: х + 3у - 23 = 0. х + 3у - 23 = 0.
АВ: 3х - у - 16 = 0. |x3 = 9х - 3у - 48 = 0
10x - 71 = 0.
х(Н) = 71/10 = 7,1.
у(Н) = 3x - 16 = 3*7,1 - 16 =5,3.
Вектор СН = (7,1 - (-1); 5,3 - 8) = (8,1; -2,7).
Модуль СН = √((8,1)² + (-2,7²) = √72,9 ≈ 8,53815.
6) 53°
7) 30°; 8 см
8) <CDO=55°; <OCD = 35°
9) <MKT = <KTM = 45°; <KTS=135°; <KST = 20°
10) <ADC = 30°; <CAD = 60°
Объяснение:
6) Сумма острых углов в прямоугольном Δ равна 90 градусам => <CAB = 90-37=53°
(в прямоугольном треугольнике с прямым углом C известен угол <B, равный 37°. Найдите угол CAB)
7) Сумма острых углов в прямоугольном Δ = 90° => <MPN = 30. Напротив угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы => MP = 2*4=8 см
(в прямоугольном треугольнике MNP с прямым углом N известен угол NMP = 60°. Найдите угол MPN и сторону MP)
8) <CDO и внешний <D - смежные, их сумма = 180 градусам => <CDO = 180-125=55°. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике = 90° => <OCD = 90-55=35° (В прямоугольном треугольнике OCD
(угол O - прямой) внешний угол D равен 125°. Найдите углы треугольнике)
9) ΔMKT - прямоугольный и равнобедренный, в прямоугольном равнобедренном Δ углы при основании равны 45°; <KTM смежен с <KTS их сумма 180° => <KTS=180-45=135°; Сумма углов в треугольнике равна 180° => <KST= 180-20-135=25°
(В треугольнике MKS проведена прямая, делящая его на два треугольника MKT и KTS. В треугольнике MKT угол M - прямой; KM=MT. Угол TKS = 20°. Найдите углы MKT, KTM, KTS, KST)
10) ΔACD - прямоугольный, гипотенуза AD = 24, а катет AC = 12. AC = 0,5*AD => напротив катета AC лежит угол в 30° => <ADC = 30°. По сумме острых углов в прямоугольном треугольнике, <CAD = 60°
(В треугольнике ACD угол C = 90°; AC = 12; AD = 24. Найдите углы треугольника)