Комната имеет форму куба. паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удаленных от паука вершин куба. как должен двигаться паук? решите как можно подробнее)

Показать ответ

Ответ:

lsodh

20.07.2020 11:15

Пусть наш куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ имеет длину ребра

, середина точка

, $N \in A_{1}D_{1}$ так как самая удаленная вершина всегда будет симметрична , какую бы точку не взять на середине ребра данного куба , рассмотрим когда точка лежит , на ребре $A_{1}D_{1}$
Теперь надо понять как он должен двигаться , с начало в какую сторону , видно что самое удаленная вершина это точка

, так же и другая есть симметричная ей

, но будет рассматривать

.
так как

то есть можно не рассматривать вариант когда паук ползет в сторону $DD_{1}$ , рассмотрим вариант когда он ползет к стороне $AA_{1}$ , когда паук ползет к вершине $A_{1}- B$ , очевидно что расстояние равно $\frac{1}{2}+\sqrt{2}=\frac{1+\sqrt{8}}{2}$ , пусть есть некая точка

, которая принадлежит $AA_{1}$ , по неравенству треугольников $\frac{1}{2} + A_{1}x Nx$
выразим расстояние , когда паук ползет через точку

она равна $A_{1}x=y\\
 \sqrt{y^2+\frac{1}{2}^2 } + \sqrt{ (1-y)^2+1}$
получили функцию $\frac{\sqrt{ 4y^2+1}}{2 } + \sqrt{ 2-2y+y^2 }$
которая имеет критическую точку $y=\frac{1}{3}$ (находится через производную ) , минимум $f(\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{13}}{2}$ , что меньше выше сказанного расстояния
ответ Паук должен с начало придти к $A_{1}x$ , потом к

это есть кратчайшее расстояние

Комната имеет форму куба. паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, пойма