КТО ЗНАЕТ ГЕОМ Один із кутів прямокутної трапеції дорівнює 45°. Обчисліть площу даної трапеції, якщо її основи дорівнюють 4 см і 8 см.​​

Дана прямая а и точка М, не лежащая на ней.

Проводим дугу с центром в точке М (черная), произвольного радиуса, большего расстояния от точки М до прямой.

Получили две точки пересечения дуги и прямой а. Обозначим их А и В.

Теперь построим две окружности (красных), с центрами в данных точках, произвольного одинакового радиуса (большего половины отрезка АВ).

Точки пересечения этих окружностей назовем К и Н.

Проводим прямую КН.

КН - искомый перпендикуляр к прямой а.

Доказательство:

Если точка равноудалена от концов отрезка, значит она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку.

АК = КВ как равные радиусы, значит К лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.

АН = НВ как равные радиусы, значит Н лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.

КН - серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

МА = МВ как равные радиусы черной окружности, значит и точка М лежит на прямой КН, т.е. перпендикуляр к прямой а проходит через точку М.

44x² +100y² =4400   (обе части уравнения  разделим на 4400) ⇒x²/100 +y²/44 = 1 или
x²/(10)² + y²/(2√11)²  =1 ⇒ Полуоси эллипса  a  =10 ; b  =2√11.
Уравнение прямой направленной по диагонали прямоугольника, построенного на осях эллипса  будет   y =kx =b/a* x  ; y =(√11)/5 *x .
Определим  точки  пересечения  этой прямой с эллипсом  для  этого решаем систему
{ 44x² +100y² =4400 ; y =(√11)/5 *x.  { 44x² +100*11/25*x² =4400 ; y =(√11)/5 *x.
{2* 44x²  =4400 ; y =(√11)/5 *x.  [ { x = -5√2 ; y = -√22 ;{ x=5√11 ;y = - √22.
M ( - 5√2 ;  -√22) и N (5√2 ; √22)
  Определим  длину  хорды  MN  (расстояние между этими  точками) :
MN =√((5√2 - (- 5√2))² +√(√22 -(-√22))²) = √((2*5√2)² +(2*√22)²) =2√((5√2)² +(√22)²)
=2√72 =2√(36*2) =2*6√2  ;

MN = 12√2.