Из правильного треугольника АВС: из теоремы Пифагора: высота ВК равна 3 корня из 2. Угол ОАК - это угол между плоскостью АОС и основанием. Поскольку угол ОАК = 30 градусов, то катет ОК равен гипотенузы ОА как катет, который лежит против угла 30 градусов. ОК = ОА/2. Пускай ОК = х, тогда ОА = 2х. Из прямоугольного треугольника ОАК: за теоремой Пифагора: OA^2 = OK^2 + AK^2, 4x^2 = 9 - x^2, 3x^2 = 9, x^2 = 3, x = корень из 3. OK = корень из 3. Объем призмы равен площади основания умножить на высоту: S = So*H = S(ABC)*OK = BK*AC/2*OK = 9 корней из 6.
АД И ВС - ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ОСНОВАНИЯ ТРАПЕЦИИ АВСД, БИССЕКТРИСЫ АО И ВО ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ТОЧКЕ О И ПРОХОДЯТ ДАЛЬШЕ, ПЕРЕСЕКАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ТОЧКАХ А1 И В1. УГЛЫ ВА1А И А1АВ1 - ВНУТРЕННИЕ РАЗНОСТОРОННИЕ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВС И АД И СЕКУЩЕЙ АА1 . РАССМОТРИМ ТРЕУГОЛЬНИК АВА1. В НЕМ УГЛЫ ВАА1 И ВА1А РАВНЫ, Т.К. АА1- БИССЕКТРИСА УГЛА ВАД, ТРЕУГОЛЬНИК АВА1 РАВНОБЕДРЕННЫЙ, ЕГО БИССЕКТРИСА, ОПУЩЕННАЯ НА ОСНОВАНИЕ, ЯВЛЯЕТСЯ ВЫСОТОЙ (И МЕДИАНОЙ ПО СВОЙСТВУ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА) УГОЛ АОВ = 90 ГРАД.
АД И ВС - ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ОСНОВАНИЯ ТРАПЕЦИИ АВСД, БИССЕКТРИСЫ АО И ВО ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ТОЧКЕ О И ПРОХОДЯТ ДАЛЬШЕ, ПЕРЕСЕКАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ТОЧКАХ А1 И В1. УГЛЫ ВА1А И А1АВ1 - ВНУТРЕННИЕ РАЗНОСТОРОННИЕ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВС И АД И СЕКУЩЕЙ АА1 . РАССМОТРИМ ТРЕУГОЛЬНИК АВА1. В НЕМ УГЛЫ ВАА1 И ВА1А РАВНЫ, Т.К. АА1- БИССЕКТРИСА УГЛА ВАД, ТРЕУГОЛЬНИК АВА1 РАВНОБЕДРЕННЫЙ, ЕГО БИССЕКТРИСА, ОПУЩЕННАЯ НА ОСНОВАНИЕ, ЯВЛЯЕТСЯ ВЫСОТОЙ (И МЕДИАНОЙ ПО СВОЙСТВУ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА) УГОЛ АОВ = 90 ГРАД.