Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала ab{х2-х1;y2-y1;z2-z1}. В нашем случае вектор АВ{-7-2;10-(-8);-8-1} или AB{-9;18;-9}. Вектор CD{-9-(-8);8-0;7-(-10)} или CD{-1;8;17}. Модуль или длина вектора: |а|=√(x²+y²+z²). В нашем случае: |AB|=√(81+324+81)=√486 |CD|=√(1+64+289)=√354. а) Косинус угла между векторами равен: Cosα=(AB*CD)/(|AB|*|CD|) или cosα=|(-9)*(-1)+18*8+(-9)*17)/(√486*√354)=0/(√486*√354) =0. ответ: Угол между векторами АВ и СD равен 90°. б) координаты середины отрезка найдем по формуле x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2, z = (z1 + z2)/2, где x1,x2; y1,y2 и z1,z2 - координаты точек начала и конца отрезка. В нашем случае середина отрезка АВ: Е((2+(-7)/2;(-8+10)/2;(1+(-8))2) или Е(-2,5;1;-3,5). Середина отрезка CD: F((-8+(-9)/2;(0+8)/2;(-10+7)2) или F(-8,5;4;-1,5). Расстояние между точками Е и F (модуль вектора EF: |EF|=√[(-8,5-(-2,5))²+(4-1)²+(-1,5-(-3,5))] или |EF|=√(6²+3²+2²)=√49=7. ответ: расстояние между серединами отрезков АВ и СD равно 7.
Стороны треугольника равны 9 и 12. Косинус угла между ними равен 2/3. В треугольник вписан ромб, имеющий с этим треугольником общий угол, и одна вершина ромба лежит на стороне треугольника, противолежащей этому углу. Найти сторону ромба
Найдем третью сторону треугольника х по теореме косинусов х²=9²+12²-2*9*12*2/3=81+144-216*2/3 х²=81 х=9 Выяснилось, что треугольник - равнобедренный с боковыми сторонами, равными 9, и основанием - 12 Пусть ромб с треугольником имеют общий угол между равными боковыми сторонами.
Тогда его стороны равны половине боковой стороны и равны. 9:2=4,5
Действительно, проведя среднюю линию, параллельную каждой боковой стороне, мы получим ромб со сторонами, равными половинам боковых сторон, с диагоналями, равными большая - высоте треугольника и меньшая - средней линии, параллельной основанию треугольника.
------------------------------------------
Есть и вариант 2, он несколько сложнее.
Здесь общий угол ромба и треугольника - при основании. Средними линиями уже не обойтись.
В нашем случае вектор АВ{-7-2;10-(-8);-8-1} или AB{-9;18;-9}.
Вектор CD{-9-(-8);8-0;7-(-10)} или CD{-1;8;17}.
Модуль или длина вектора: |а|=√(x²+y²+z²). В нашем случае:
|AB|=√(81+324+81)=√486
|CD|=√(1+64+289)=√354.
а) Косинус угла между векторами равен:
Cosα=(AB*CD)/(|AB|*|CD|) или
cosα=|(-9)*(-1)+18*8+(-9)*17)/(√486*√354)=0/(√486*√354) =0.
ответ: Угол между векторами АВ и СD равен 90°.
б) координаты середины отрезка найдем по формуле
x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2, z = (z1 + z2)/2, где x1,x2; y1,y2 и z1,z2 - координаты точек начала и конца отрезка.
В нашем случае середина отрезка АВ: Е((2+(-7)/2;(-8+10)/2;(1+(-8))2) или Е(-2,5;1;-3,5).
Середина отрезка CD: F((-8+(-9)/2;(0+8)/2;(-10+7)2) или F(-8,5;4;-1,5).
Расстояние между точками Е и F (модуль вектора EF:
|EF|=√[(-8,5-(-2,5))²+(4-1)²+(-1,5-(-3,5))] или |EF|=√(6²+3²+2²)=√49=7.
ответ: расстояние между серединами отрезков АВ и СD равно 7.
Стороны треугольника равны 9 и 12. Косинус угла между ними равен 2/3. В треугольник вписан ромб, имеющий с этим треугольником общий угол, и одна вершина ромба лежит на стороне треугольника, противолежащей этому углу. Найти сторону ромба
Найдем третью сторону треугольника х по теореме косинусов
х²=9²+12²-2*9*12*2/3=81+144-216*2/3
х²=81
х=9
Выяснилось, что треугольник - равнобедренный с боковыми сторонами, равными 9, и основанием - 12
Пусть ромб с треугольником имеют общий угол между равными боковыми сторонами.
Тогда его стороны равны половине боковой стороны и равны.
9:2=4,5
Действительно, проведя среднюю линию, параллельную каждой боковой стороне, мы получим ромб со сторонами, равными половинам боковых сторон, с диагоналями, равными большая - высоте треугольника и меньшая - средней линии, параллельной основанию треугольника.
------------------------------------------
Есть и вариант 2, он несколько сложнее.
Здесь общий угол ромба и треугольника - при основании.
Средними линиями уже не обойтись.