Куля об’ємом 32/3π см3 дотикається до всіх сторін квадрата. Знайдіть сторону квадрата , якщо відстань від центра кулі до площини квадрата дорівнює √3 см.

Считаем тр-к равнобедренным, т.О пересечение биссектрис; если угол при вершине по условию 120 гр., то равные углы при основании А и С=(180-120)/2=30гр.;
биссектриса АЕ делит угол А на 2 по 15 гр.; рассм. тр-к АОД, он прямоугольный, т.к. биссектриса ВД является медианой и высотой равнобедренного тр-ка.
Угол АОД=90-15=75 гр. по свойству острых углов прямоугольного тр-ка.
Углы АОД и ВОЕ вертикальные, значит угол ВОЕ=75гр.
Аналогично угол FOB=75гр. Значит угол между биссектрисами АЕ и CF угол FOE=75+75=150 гр. 

Треугольник равнобедренный.
Раз сказано: "большая сторона" - это значит что эта сторона основание, так как две другие РАВНЫ.
Пусть треугольник АВС,  АС - основание и точка М - конец биссектрисы, она же - конец медианы и высоты (свойство равнобедренного треугольника).
АС=0,75*(АВ+ВС) или 0,75*АВ +0,75АВ (так как АВ=ВС).
Тогда АМ=0,75АВ.
Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол, значит меньшая высота - это высота ВМ.
Итак, ВМ=4.
Косинус угла при основании равен отношению прилежащего катета АМ к гипотенузе АВ, то есть 0,75. Тогда МН из треугольника ВМН равна
МН=BM*Cosα =  4*0,75=3!
ответ: расстояние от точки М до меньшей стороны треугольника равно  3.