Кут між бічними сторонами рівнобедреного трикутника дорівнює 120°, бічна сторона - 4 см. Знайдіть радіус
описаного кола.

Question

Геометрия: Кут між бічними сторонами рівнобедреного трикутника дорівнює 120°, бічна сторона - 4 см. Знайдіть радіус описаного кола.

toshakalashnik · Answer

Радиус описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника можно найти по формуле:

$R = \frac{a^2}{\sqrt{4a^2 - b^2} }$ , где а - боковые стороны треугольника, b - основа. Мы знаем боковые стороны, но не знаем основу. Так же нам дан угол между боковыми сторонами. Это даёт нам возможность использовать теорему косинусов:

$b^2 = a^2 + a^2 - 2aa *cos(\beta )$ , где b - основа, a - боковое сторона, β - угол между боковыми сторонами.

Имеем:

$b^2 = 4^2 + 4^2 - 2 * 4 * 4 * cos(120^*)\\\\b^2 = 16 + 16 - 32*(-\frac{1}{2})\\\\b^2 =32 + 16\\\\b^2 = 48\\\\b = 4\sqrt{3}$

Теперь можно найти радиус:

$R = \frac{4^2}{\sqrt{4*4^2-(4\sqrt{3})^2 } } = \frac{16}{\sqrt{64-48} } = \frac{16}{\sqrt{16} } = \frac{16}{4} = 4$

ответ: 4 см