Линия ABC параллельна линии DEF. Если BG перпендикулярен CE, если AD параллелен BG, если GF перпендикулярен EF, если BG=4m, GC=3m и AD=12м. Найдите a) длину BC, б) площадь треугольника ABD и в) длина GF.

АС=√7см

Объяснение:

Дано:

ABCD- трапеция

АВ=CD=√3см

BC=1см

<ABC=150°

АС=?

___________

В равнобокой трапеции углы при основаниях равны.

<АВС=<ВСD

<BAD=<CDA

В трапеции сумма углов прилежащих к боковой стороне равна 180°

<СDA=180°-<BCD=180°-150°=130°

Проведём две высоты СК и ВМ.

АМ=KD

∆CKD- прямоугольный.

sin<CDK=CK/CD

sin30°=1/2

1/2=CK/√3

CK=√3/2 см.

cos<CDK=KD/CD

cos30°=√3/2

√3/2=KD/√3

KD=√3√3/2=1,5см.

ВС=МК=1см

АК=АМ+МК=1,5+1=2,5см

∆АСК- прямоугольный треугольник

По теореме Пифагора

АС²=АК²+СК²=2,5²+(√3/2)²=6,25+0,75=7см

АС=√7см

Если прямая (DC),  параллельна какой-нибудь прямой (AB), расположенной в плоскости (α), то она параллельна самой плоскости. Если плоскость  проходит через прямую (DC), параллельную другой плоскости (α), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (EF) параллельна первой прямой (DC).
Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α.
Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору
АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3. 
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°.
Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²